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2.3.10

Outra construção para obter a média e extrema razão.

Dado o segmento AB, pretendemos obter o ponto M que o divide em média e extrema razão.

  1. Mostramos um segmento [AB]
  2. Construímos um quadrado de lado AB: seja ABCD.

  3. E determinamos o ponto E médio de AD.

  4. Com centro em E e raio EB, traçamos o arco que determina F na semi-recta DA, tal que EF=EB
    A diagonal DG do rectângulo CDFG intersecta o segmento AB no ponto M pretendido no sentido de ser |AM|/|MB|=|BA|/|AM|, ou tal que |AM|2=|MB|.|BA|




    Este rectângulo é tal que a razão entre os seus lados é Φ ≈ 1,618. A este número Φ chamamos número de ouro e ao rectângulo chamamos rectângulo de ouro.

    O ponto M que satisfaz simultaneamente as condições |AM|+|MB|=|AB| e |AM|^2= |AB|.|BM| é único. se tomássemos a diagonal CF do mesmo retângulo, obtínhamos como interseção de CF com AB um ponto N de [AB] tal que |AN|+|NB|= |AB| e para o qual |BN|2 =|NA|.|AB|.

  5. O bloco 5 da nossa construção dinâmica é para chamar a atenção para outros dois pontos sobre a reta AB (colineares com A e B)interessantes do mesmo ponto de vista e obtidos de modo análogo: considerando o ponto F1 da semi-reta AD: |EB|=|EF1| e retângulo [DCG1F1] de dimensões |CD|e |DF1|. As retas diagonais deste retângulo intersectam a reta AB em pontos interessantes. Mostramos a intersecção H da diagonal G1D com BA que satisfaz as condições BH=BA+AH e |HA|^2 =|AB|.|BH|