Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l₅ o lado do pentágono regular inscrito e por l₁₀ o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l₁₀, podemos obter geometricamente l₅.


Na circunferência de centro O e raio OA, tomemos o ângulo ao centro AOB de 36°, a corda AB corresponde a l₁₀ (lado do decágono regular inscrito).
Sobre a semi-recta AB, tomemos C tal que AO=AC. Por C traçamos uma tangente à circunferência; seja D o ponto de tangência.
Tendo AC um comprimento igual ao raio e sendo AB o lado do decágono regular, então B divide AC em média e extrema razão: AC/AB=AB/BC ou AB²= AC.BC
Pela definição de potência de um ponto em relação à circunferência, CD² =AC.BC. Logo CD=AB=l₁₀ (lado do decágono).
No triângulo isósceles OAC, temos ∠OÂC=72°, então a corda OC da da circunferência de centro A e raio AO=AC corresponde a l₅ (lado do pentágono regular inscrito). Em conclusão, dada uma circunferência de raio r, construindo um triângulo rectângulo com r e l₁₀ como catetos, a hipotenusa é l₅ (lado do pentágono).