Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.

O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.

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O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.
Na construção seguinte, deslocando o cursor do topo (n=1 a 8), pode ver cada uma das etapas com que pretendemos ilustrar as afirmações anteriores. No último passo - n=8 - pode deslocar ou variar as posições dos pontos K e L da circunferência circunscrita a que correspondem (por homotetia de centro X55) pontos da circunferência inscrita M e N.....


O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.

Mais propriedades do Ponto Lemoine

• Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.
  
  Na construção que se segue, pode acompanhar as etapas deste novo processo de determinar o ponto Lemoine de um dado triângulo Δ[ABC].

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  Vale a pena demonstrar que esse ponto K, assim obtido, é o Ponto Lemoine do triângulo Δ[ABC].



• O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).



Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como se pode ver na construção que se segue, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.

Assim conhecemos uma outra forma de determinar o ponto de Lemoine de um triângulo ABC como ponto de intersecção dos segmentos que unem os pontos M_a, M_b e M_c médios, respectivamente dos lados a=BC, b=CA e c=AB e os pontos Mh_a, Mh_b e Mh_c médios das respectivas alturas tiradas por A, B, C, a saber AH_a, BH_b e CH_c.

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Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:

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• As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.


• A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.


• O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.


• As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.





• As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




[KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice. Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando M_a, M_b, M_c as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'_a, M'_b, M'_c), obtemos |MM_b|.|M'M'_b|=|MM_c|.|M'M'_c|, como pode confirmar na construção que se segue:




As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.

Recíproco do Ortocentro

Ao recíproco do Ortocentro damos o nome de Retrocentro. Assim:



Interessante é verificar que o Retrocentro e os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel (recíprocos) são colineares. Como pode ver na construção seguinte:

Pontos recíprocos

Tomemos três cevianas do triângulo [ABC] que passam por um ponto P. Verifica-se que as suas conjugadas isotómicas se intersectam num ponto P’. Os pontos P e P´dizem-se “pontos recíprocos”.

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Exerício interactivo: Determinar o primeiro ponto de Gergonne do triângulo [ABC] e o seu recíproco.





Determinado o ponto de Gergonne e o seu recíproco, verifique que esse recíproco coincide com o ponto de Nagel determinando o ponto de Nagel. Não é curioso? Em cada lado do triângulo, os pontos de tangência do incírculo e do exincírculo são simétricos relativamente ao ponto médio do lado.

Pontos isotómicos. Rectas isotómicas

Dois pontos situados num lado de um triângulo dizem-se “isotómicos” se forem simétricos em relação ao ponto médio desse lado. Duas cevianas que passam pelo mesmo vértice, dizem-se “conjugadas isotómicas” se intersectam o lado oposto em pontos isotómicos. Os pontos D e D’ são isotómicos. As rectas d e d’ são conjugadas isotómicas.

Colineares - recta de Euler - e concíclicos - círculo de Feuerbach;

No triângulo [ABC] tracemos as medianas AMa, BMb e CMc que se intersectam no baricentro G
Como é bem conhecido: o triângulo [MaMbMc] tem os lados ordenadamente paralelos aos do triângulo [ABC]; [ABC] e [MaMbMc] são homotéticos: o centro de homotetia é G e a razão é 1/2.

Os pontos notáveis de [MaMbMc] são homotéticos dos pontos notáveis correspondentes de [ABC]. G, como centro de homotetia, é baricentro de ambos os triângulos. O ortocentro H de [ABC] é homotético do ortocentro de [MaMbMc] que, como é óbvio, é o circuncentro O de [ABC]. Concluímos assim, como já vimos há tempos, que os pontos G, H, O são colineares (“recta de Euler”) e, atendendo à razão de homotetia, |HG| = 2 |GO|.

O circuncentro O de [ABC] tem por homotético o centro F da circunferência definida pelos pontos Ma, Mb, Mc. Ora como vimos (nos artigos sobre lições de Geometria Métrica de Puig Adam Pontos e rectas notáveis de um triângulo e Teorema de Feuerbach), trata-se do “círculo de Feuerbach”. Sendo assim, F pertence também à recta de Euler e é |OG| = 2|GF|. Então F é o ponto médio do segmento [HO]. Atendendo à constância das razões que é possível obter, concluímos que (HGOF) formam um quaterno harmónico.




Recordamos ainda que o círculo de Feuerbach é também designado por “círculo dos nove pontos”: além de Ma, Mb, Mc, contem ainda os pés Ha, Hb, Hc das alturas e os pontos médios dos segmentos definidos por H e cada um dos vértices A, B, C.
O círculo de Feuerbach é tangente ao incírculo e aos ex-incírculos. Os quatro pontos de contacto são os “pontos de Feuerbach”.

Consideremos o triângulo [A₁B₁C₁], em que cada lado está sobre a paralela a um lado do triângulo [ABC] tirada pelo vértice oposto.

O incentro I de [ABC] tem por homotético o incentro de [A₁B₁C₁]. Tal ponto é o nosso conhecido “ponto de Nagel” N. Atendendo à homotetia, os pontos G, I, N são colineares e NG = 2 GI.