Exercício interactivo
Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.
Ver artigos precedentes.
24.3.08
Focos da hipérbole homológica de uma circunferência
Exercício interactivo
Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.
Ver artigos precedentes.
Hipérbole e homologia
O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.
Sejam L1 e L2 os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T1 a intersecção da tangente t1 com e e T2 a intersecção da tangente t2 com e. A paralela por T1 a OL1 e a paralela por T2 a OL2 são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.
A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.
Sejam L1 e L2 os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T1 a intersecção da tangente t1 com e e T2 a intersecção da tangente t2 com e. A paralela por T1 a OL1 e a paralela por T2 a OL2 são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.
A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.
18.3.08
Focos da elipse homóloga de uma circunferência
Exercício interactivo
Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.
Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.
17.3.08
Eixos de uma elipse e homologia
Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.
[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL1 e OL2 definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL1 e OL2 devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL1 e OL2, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.
Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.
[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL1 e OL2 definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL1 e OL2 devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL1 e OL2, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.
Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.
12.3.08
Diâmetros conjugados e homologia
Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.
[A.A.M.]
Na construção restaurada, pode seguir a resolução do exercício recorrendo ao cursor n que pode tomar os valores de 1 a 5. Tomámos para guia as notas que acompanhavam a construção feita ao tempo (2008 com a aplicação CaR (ZuL) de R. Grothmann) e se mantêm a seguir:
Notas:
Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L1 de l, tracemos as tangentes t1 e t2 à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T1 e T2, intersecta l num ponto que designamos por L2; tracemos as tangentes t3 e t4 à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T3 e T4, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T1T2] e [T3T4] são um par de diâmetros conjugados da cónica.
Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t3 e t4.
[A.A.M.]
Na construção restaurada, pode seguir a resolução do exercício recorrendo ao cursor n que pode tomar os valores de 1 a 5. Tomámos para guia as notas que acompanhavam a construção feita ao tempo (2008 com a aplicação CaR (ZuL) de R. Grothmann) e se mantêm a seguir:
Notas:
Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L1 de l, tracemos as tangentes t1 e t2 à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T1 e T2, intersecta l num ponto que designamos por L2; tracemos as tangentes t3 e t4 à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T3 e T4, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T1T2] e [T3T4] são um par de diâmetros conjugados da cónica.
Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t3 e t4.
10.3.08
Homologia e circunferência
Exercício interactivo
Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.
Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.
3.3.08
Circunferência transformada em hipérbole
Exercício interactivo
Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.
A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.
Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.
A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.
Homologia e circunferência
Uma homologia está definida pelo centro O, recta limite l, eixo e. Dada uma circunferência qual o seu transformado por essa homologia? O seu transformado é sempre uma cónica. Pode ser uma elipse (incluindo a circunferência), uma parábola ou uma hipérbole. E, como qualquer cónica fica univocamente definida por cinco dos seus pontos, para obter a cónica homóloga a uma circunferência precisaremos de obter, no máximo, imagens de 5 dos seus pontos.
Vejamos um processo simples de obter pares de pontos da uma cónica com base na construção indicada em 11/02/2008. Dada uma homologia definida por O, e, l, pretendemos determinar a cónica transformada da circunferência dada. Tracemos a recta r que intersecta a circunferência em A e B, a recta limite em L e o eixo em E. Unamos O e L. Por E tracemos uma paralela r' a OL. A intersecção de r' com OA é A'; a intersecção de r' com OB é B'. A corda [AB] da circunferência tem assim como homóloga a corda [A'B'] da cónica imagem.
[A.A.M.]
Vejamos um processo simples de obter pares de pontos da uma cónica com base na construção indicada em 11/02/2008. Dada uma homologia definida por O, e, l, pretendemos determinar a cónica transformada da circunferência dada. Tracemos a recta r que intersecta a circunferência em A e B, a recta limite em L e o eixo em E. Unamos O e L. Por E tracemos uma paralela r' a OL. A intersecção de r' com OA é A'; a intersecção de r' com OB é B'. A corda [AB] da circunferência tem assim como homóloga a corda [A'B'] da cónica imagem.
[A.A.M.]
2.3.08
Homologia sobre rectas paralelas
Exercício Interactivo
Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas paralelas r e s.
Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas paralelas r e s.
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