Em busca da hipérbole II

Determinar uma hipérbole de que se conhecem dois ponto P e Q, uma direcção assíntótica a₁ e a directriz d₁.

Em busca da hipérbole I

Apresentadas algumas propriedades das hipérboles, é altura de procurarmos uma ou outra a partir de alguns elementos.

Determinar a hipérbole que passa pelo ponto P, admite a₁ como assíntota e tem F₁ como foco.

Hipérbole: assintotas e directrizes.

Há problemas referentes a hipérboles em que é necessário calcular a excentricidade (e = c/a) ou a distância das directrizes a O (d = a/e = a^2/c). Pode utilizar-se o processo clássico de recurso ao teorema de Thales (a/c = 1/e, e/a = 1/d, c/a = a/d), como se ilustra na figura que se segue.
Há, porém, relações entre os elementos da hipérbole que permitem obter de modo muito mais simples a posição de uma directriz.


[A.A.F.]


Pelo foco F2 tiremos tangentes ao círculo principal; os pontos de tangência T1 e T2 definem a directriz d2. De facto, no triângulo [OT1F2] temos:
|OT'|/|OT1| = |OT1|/|OF2| ou |OT'|/a = a/c ou |OT'| = a^2/c

T' é a intersecção da directriz com o eixo transverso.
Pela forma como foi feita a construção, conclui-se que uma directriz da hipérbole é a polar do respectivo foco relativamente ao círculo principal.

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A recta OT2 é assíntota. Basta notar que os triângulos [OT'T2] e [OV2J] são semelhantes.

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A distância de um ponto P da hipérbole a um foco é igual à distância de P à directriz correspondente a esse foco, lida numa paralela, que passe por P, a uma assíntota.



[A.A.F.]

Por P tracemos uma paralela à assíntota a1. Por definição de hipérbole é |PF2|/|PP'| = c/a ou a/|PP'|=c/|PF2|. Porque os triângulos [PP'Q] e [OCF2] são semelhantes, é |OC|/|PP'|=|OF2|/|PQ|=|CF2|/|P'Q| ou a/|PP'| = c/|PQ|. Verifica-se, portanto, que |PF2| = |PQ|.

Da elipse para a hipérbole

A hipérbole pode ser definida como um lugar geométrico de pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos, F e F', fixos é constante, 2a>0. Ou, dito de outro modo:
Dados dois pontos, F e F' e um segmento 2a de comprimento menor que |FF'|, ao lugar geométrico dos ponto P tais que |PF|+2a=|PF'| chamamos hipérbole.

Também interessa ter sempre presente, à semelhança do que dissémos para as outras cónicas, que

chamamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a um ponto (foco) e a uma recta (directriz) estão numa razão constante (maior que 1).

Por estas definições, se torna óbvio que às propriedades da elipse se podem associar propriedades análogas da hipérbole. Várias destas analogias podem ser vistas em ilustrações já publicadas neste "lugar geométrico".

O que foi referido para secantes e tangentes da elipse é aplicável com a adaptação conveniente a secantes e tangentes da hipérbole.

Nos artigos que se seguem, iremos tratar de propriedades da hipérbole que nos parecem merecer referência por não serem comuns à elipse real.

Elipses e triângulos

Mariana Sacchetti relacionou propriedades dos triângulos ou relações entre elementos dos triângulos com propriedades das elipses. Aqui deixamos a ligação a essa síntese:

Elipses e Triângulos

Clicando sobre elipses e triângulos pode descarregar o documento elaborado pela Mariana.

a recta que intersecta a parábola

Na sua "Geometria Métrica", Puig Adam mostra que o processo utilizado para determinar as intersecções de uma recta com a elipse ou hipérbole pode também ser usado para a parábola:



Suponhamos a parábola definida por F e directriz d. Determinar as intersecções da cónica com a recta r equivale a achar em r os centros das circunferências que passam por F e são tangentes à directriz.
Tomemos o simétrico S de F em relação a r. Toda a circunferência que passa por F e S tem o seu centro em r; reciprocamente, toda a circunferência que passa por F e tem centro em r passa por S. O problema equivale a achar os centros das circunferências que passam por F e S e são tangentes a uma recta dada (a directriz da parábola).
Seja M a intersecção de FS com d; o ponto T de tangência tem de verificar a condição MT^2 = MS.MF. Traçamos uma circunferência auxiliar que passe por F e S. Por M tiramos uma tangente à circunferência auxiliar e seja T' o ponto de tangência.

Os pontos P1 e P2 (caso existam) são as intersecções da recta com a cónica.

Elipse: Tangente por um ponto exterior

No 2º volume da GEOMETRIA MÉTRICA, já referenciada neste lugar algumas vezes, Puig Adam apresenta a determinação da tangente por um ponto, P, exterior a uma elipse de que se conhecem os focos e o eixo maior. Esta construção não exige a determinação de qualquer outro elemento da elipse. É elegante e simples.
Com centro num dos focos, por exemplo F₁, trace-se a circunferência directora (ou focal). A circunferência centrada em P e que passa por F₂ corta a anterior em dois pontos S₁ e S₂. As tangentes à eipse tiradas por P são as mediatrizes dos segmentos [ F₂ S₁] e [ F₂ S₂]. Para além do mais os pontos de trangência ficam determinados como intersecções dessas mediatrizes (tangentes) com os segmentos [ F₁ S₁] e [ F₁ S₂].

Elipse: Tangentes

1. Tangente num ponto da elipse

Obtemos a tangente no ponto P da elipse pelo processo já referido para a parábola: a tangente no ponto P é a bissectriz externa do ângulo F₁PF₂.




2. Tangente por um ponto exterior à elipse

Traçam-se duas circunferências: uma de centro P e raio PF₂; outra de centro F₂ e raio 2a = [V₁V₂]. Sejam R e s os seus pontos de intersecção; as rectas F₁R e F₁S intersectam a elipse nos pontos de tangência.



3. Tangentes paralelas a uma direcção r

Traçamos uma recta r' paralela a r; sejam A e B os seus pontos de intersecção com a elipse. A recta definida pelo centro O e pelo ponto M (ponto médio do segmento) determina sobre a elipse os pontos de tangência



(Fonte: "Desenho Técnico" de Luís Veiga Cunha)

Note-se que apenas conseguimos ter os pontos de tangência se tivermos a elipse desenhada. Será possível determinar os pontos de tangência sem ter a elipse?

4. Uma habilidade especial: obter os pontos de tangência sem ter a elipse!

Recordemos, antes de mais, que:
- se chama excentricidade ao quociente e = c/a;
- as directrizes são rectas perpendiculares ao eixo maior e cujas abcissas são x = - a/e e x = a/e; a razão das distâncias de cada ponto da elipse a um foco e à directriz correspondente é constante e igual à excentricidade e.

Uma elipse está definida pelo ponto F, pela excentricidade e e pela directriz d. Determinar a(s) tangente(s) à elipse tirada(s) pelo ponto P, exterior, e o(s) respectivo(s) ponto(s) de contacto.

Seja C o pé da perpendicular baixada de P para d. Tracemos a circunferência de centro P e raio PC.e. Por F tracemos uma tangente a essa circunferência que intersecta d em D: a recta DP é a tangente t à elipse. Por F tiremos uma perpendicular a FD: o pé da perpendicular é o ponto T de tangência.

+


Claro que, sendo o ponto P exterior à elipse, haverá outra tangente à circunferência tirada por F, logo haverá outra solução,

(Fonte "Géometrie" , Th Caronnet)