Dividir um triângulo em dois, de outro modo.

Determinar [DE], paralela a AB, que divide [ABC] em dois polígonos equivalentes

Dividir um triângulo em dois

Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Vamos.

Como determinar [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes

1. Tomámos um triângulo de vértices A, B, C e lados a=BC, b=CA e c=AB. Considerámos também um ponto U e por ele, uma reta r paralela a c. Pode mover o ponto U e com ele a reta r.
   
2. Considerado o ponto M médio de AB, tomámos a circunferência de centro U e raio AM ou MB e o ponto P um dos pontos comuns a r e (U, MB).
3. E o ponto Q de r: PQ=BH_c, sendo H_c o pé da perpendicular a AB tirada por C:
   CH_c é uma altura do triângulo [ABC] sendo a área deste metade de AB*CH_c.
   Q é um dos dois pontos comuns a r e à circunferência (P, BH_c)
   
4. A circunferência de diâmetro QU tem centro R: RU=UQ.
   E é intersectada em S pela perpendicular a (r ou a ) AB tirada por P.
5. A circunferência de centro B e raio PS intersecta BA em D, ou seja BD=PS e a perpendicular a AB tirada por D intersecta BC em E que, os calculados BD*DE e da figura DBE nos leva a pensar (conjecturar) que é esta DE (assim determinada) quem divide ABC em dois polígonos [ADEC] e [DBE] equivalentes.
6. ?

[A.A.M]

Partindo um quadrilátero em dois...

Há um mês atrás, a 24 de Maio, tínhamos proposto alguns problemas de divisão em partes equivalentes. Voltamos a eles como propostas de exercícios interactivos. Manda o culto mariano que o último deles, de aparência simples, seja o primeiro. Assim seja:

Determinar E (sobre [AB]) tal que [DE] divide o quadrilátero [ABCD] em dois polígonos equivalentes.


Vejamos então a resolução (proposta por Mariana Sacchetti)
Traçámos as retas AB e DB. Por C traçámos uma reta paralela a DB que interseta AB em F.

Os trângulos [DBC] e (DBF] têm a mesma área pois têm a mesma base [DB] e a mesma altiura, distância entre as retas paralelas DB e CF.

Então, o quadrilátero [ABCD] e o triângulo [ADF] são polígonos equivalentes.

A mediana [DE] do triângulo [ADF] divideo-o em dois triângulos equivalentes, logo divide o quadrilátero [ABCD] em dois polígonos equivalentes.

Dividir de forma rigorosa

António Aurélio continua a propor combates como se fossem problemas. Como exercícios interactivos aparecem por aqui. E é inevitável serem propostos como combates geométricos. Podem começar a resolver:

1.      Dado um triângulo [ABC], determinar um ponto O no seu interior tal que os triângulos [OAB], [OBC] e [OCA] sejam equivalentes.




2.     Por um ponto P exterior a um círculo de centro O, tirar uma secante PAB, tal que a área do triângulo [OAB] seja máxima.
3.     Dado um círculo, traçar uma circunferência concêntrica que o divida em duas partes equivalentes.
4.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma recta tirada por um ponto de um dos seus lados.
5.     Dividir um triângulo [ABC] por paralelas a BC, em 3 partes cujas áreas sejam proporcionais a três comprimentos dados.

Terceiro despertar dos geómetras.

Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I - incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r - círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo - círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por I_a, I_b, I_c os centros das três circunferências exinscritas.
Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por I_a, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por I_b, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por I_c. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.


[A.A.F.] Propriedades.

A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.

As circunferências BCI_a, CAI_b, ABI_c intersectam-se em I.

Os pontos I_a, I_b, I_c formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.

Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.

r_a + r_b + r_c= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; r_a: exin-raio, etc)

|OM_a| + |OM_b| + |OM_c|= r+R

|OI|² = R (R -2 r)

|OI_i|²= R (R + 2r_i), em que i = a, b, c.

A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.

A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2r_i R, com i = a, b, c.

Seja T₁ o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T₂ o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
|AT₂| = p,    |AT₁| = p - |BC| e |T₁T₂| = |BC|.

B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [II_a]

[A.A.F.]

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António Aurélio Fernandes informa:
Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon