Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I -
incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r -
círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo -
círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por I
a, I
b, I
c os centros das três circunferências exinscritas.
Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por I
a, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por I
b, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por I
c. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.
[A.A.F.]
Propriedades.
A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.
As circunferências BCIa, CAIb, ABIc intersectam-se em I.
Os pontos Ia, Ib, Ic formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.
Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.
ra + rb + rc= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; ra: exin-raio, etc)
|OMa| + |OMb| + |OMc|= r+R
|OI|2 = R (R -2 r)
|OIi|2= R (R + 2ri), em que i = a, b, c.
A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.
A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2ri R, com i = a, b, c.
Seja T1 o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T2 o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
|AT2| = p, |AT1| = p - |BC| e |T1T2| = |BC|.
B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [IIa]
[A.A.F.]
António Aurélio Fernandes informa:
Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon