21.10.11

Além das simetrias por translação, simetrias por rotação de 120, reflexões e reflexões deslizantes




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos reflexões relativas às mediatrizes dos lados dos triângulos e rotações de $120^o$ centradas no centro de um dos triângulos equiláteros (sobre o motivo mínimo). Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ reflexões deslizantes
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, exemplos dos centros de rotação de 120, eixos de reflexão a cheio e de reflexo deslizante a tracejado, todos eles associados a simetrias do padrão plano.
À semelhança de p3 em que 3 se referia âs rotações de amplitude $120^o$, a classificação deste padrão pode ser

p3m1
em que o m da 3ª posição se refere à simetria de reflexão

4 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Hoje fiquei ainda mais baralhada! p3m1?! p31m?! Será q este 1 é apenas um ornamento do padrão?...

7:19 da tarde  
Blogger A. Martins escreveu...

Estas duas últimas classificações em que aparecem 4 símbolos na classificação são excepções nesta taxonomia convencionada que é para nós um pouco estranha. No fim dos frisos, apresentámos a classificação e houve quem dissesse que tinha percebido. Só seguimos estas classificações por serem as mais seguidas. Os padrões cristalográficos do plano merecem vários tipos de tabelas classificativas convencionadas por diferentes estudiosos: dos cristalógrafos químicos, dos matemáticos (Coxeter e Polya publicaram sobre isto). Nestes dois últimos casos, verá que há translações, rotações de 120 e reflexões. Num deles as rotações de 120 em torno do centro de um dos triângulos já transformam um motivo mínimo e o seu reflexo em algum espelho e pronto! (p3m-1). No outro, há rotação do triste e só motivo mínimo em torno do centro do triângulo e o espelho reflecte essa flor de três pétalas (tristes e enjoadas que que não se olham de frente): (p3-1-m).
Razões? É o que se pode arranjar para já. Daqui a uns dias, concluiremos a série com uma algorítmica tabela classificativa geral....

Pode sempre discordar, concordar, restabelecer a verdade. Mas os anónimos raramente nos dizem o que sobrou depois da nossa infeliz resposta e isso torna-nos a todos mais infelizes.

10:52 da manhã  
Blogger A. Martins escreveu...

Já agora, em poucas palavras do título e de cada entrada escrevemos com uma lógica própria onde é claro que escolhemos um texto a merecer a síntese da classificação que afinal identifica as transformações geométricas geradoras do grupo de simetrias ilustrado: afinal as usadas para a construção. O resto está em dizer que, como consequência, outras simetrias se admitem - compostas das geradoras...

10:58 da manhã  
Blogger A. Martins escreveu...

Ah, sim pode dizer-se que o 1 - grau 1 : 1x360, identidade - é um ornamento, de tal modo que se usa só quando ajuda alguma compreensão. Do mesmo modo que a unidade -elemento neutro - na operação produto só aparece quando é mesmo um esclarecimento de detalhe. Quando escrevemos p1 estamos a dizer que para além das translações associadas a combinações de 2 vectores independentes não há mais simetrias a não ser a identidade....

2:03 da tarde  

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