A construção do pentágono regular inscrito

Com base na propriedade que liga , é imediata a justificação da construção habitual para inscrever um pentágono regular numa circunferência.

Com centro no ponto médio C do raio OB traçamos a circunferência de raio CD e obtemos o ponto M sobre o segmento AO. No triângulo rectângulo OCD, é . Então no triângulo retângulo OMD temos .





Com facilidade obtemos o comprimento do lado do decágono e do lado do pentágono em função do raio.
Vimos que, dada uma circunferência de raio r, é        donde
Usando o resultado referido na publicação anterior, obtemos o lado l₅ do pentágono regular recorrendo ao teorema de Pitágoras:

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(Para estas últimas entradas, seguimos o compêndio escolar "Geometria Elementar" de José Alves Bonifácio (Lente da Academia Polythecnica do Pôrto) Lemos&Ca., Porto:1892)

Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l₅ o lado do pentágono regular inscrito e por l₁₀ o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l₁₀ , podemos obter geometricamente l₅.

O lado do decágono, o raio e a razão áurea

Teve oportunidade de verificar, com uma construção dinâmica, a afirmação seguinte:
O ponto M (para o qual AM é igual ao lado do decágono inscrito numa circunferência) divide o raio desta, OA, em média e extrema razão.
Vamos agora demonstrar esse resultado.