6.4.10

Pentágono regular: relação entre a diagonal e o lado

Temos o pentágono regular inscrito ABCDE. Tracemos as diagonais AC, AD, EB. Os arcos AB, BC, CD, DE, EA têm igual amplitude: 72º. Então os ângulos DEF, DFE, ADC, ACD têm igual amplitude: 72º. Logo os triângulos DEF e ADC (ambos triângulos de ouro) são semelhantes. É DE = DF = l5 e EF = FA.



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29.3.10

A construção do pentágono regular inscrito

Com base na propriedade que liga , é imediata a justificação da construção habitual para inscrever um pentágono regular numa circunferência.

Com centro no ponto médio C do raio OB traçamos a circunferência de raio CD e obtemos o ponto M sobre o segmento AO. No triângulo rectângulo OCD, é . Então no triângulo retângulo OMD temos .





Com facilidade obtemos o comprimento do lado do decágono e do lado do pentágono em função do raio.
Vimos que, dada uma circunferência de raio r, é        donde
Usando o resultado referido na publicação anterior, obtemos o lado l5 do pentágono regular recorrendo ao teorema de Pitágoras:



(Para estas últimas entradas, seguimos o compêndio escolar "Geometria Elementar" de José Alves Bonifácio (Lente da Academia Polythecnica do Pôrto) Lemos&Ca., Porto:1892)

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Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l5 o lado do pentágono regular inscrito e por l10 o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l10 , podemos obter geometricamente l5.


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28.3.10

O lado do decágono, o raio e a razão áurea

Teve oportunidade de verificar, com uma construção dinâmica, a afirmação seguinte:
O ponto M (para o qual AM é igual ao lado do decágono inscrito numa circunferência) divide o raio desta, OA, em média e extrema razão.
Vamos agora demonstrar esse resultado.


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25.3.10

Média e extrema razão e lado do decágono regular inscrito

Dado o raio de um círculo, r = OA, se dividirmos o raio em média e extrema razão, a extrema razão AM é o lado do decágono regular inscrito.
Na construção abaixo, é possível mover quer A, quer O. Como verificará:
- o ponto M divide o raio OA em média e extrema razão;
- é AM = AB.



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22.3.10

Divisão de um triângulo de ouro em dois triângulos de ouro

No triângulo de ouro ABC, determinemos o ponto D tal que divide o lado BC em média e extrema razão. Os triângulos ABD e BCD são triângulos de ouro; o primeiro obtusângulo, o segundo acutângulo.
Claro que, em relação a cada um deles, se pode aplicar nova divisão.


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14.3.10

Outro triângulo de ouro

Um triângulo isósceles cujo ângulo oposto à base mede 108° e os da base medem 36° é também triângulo de ouro.



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Triângulo de ouro

Todo o triângulo isósceles cujos ângulos da base medem 72º são “triângulos de ouro”. Como pode verificar na construção, ao mover o ponto A ou o ponto B, mantém-se constante a relação entre um dos lados maiores e o lado menor e essa razão é o número de ouro.



A relação de um rectângulo de ouro com um triângulo de ouro é imediata: se ambos tiverem a mesma base AB, o vértice V oposto à base no triângulo é a intersecção da mediatriz de AB com a circunferência de centro A e raio AD: obtém-se AV = AD.




De um triângulo isósceles ABC em que AC=BC com ângulo ACB a medir 36º, a base AB é o lado de um decágono regular inscrito na circunferência de centro C e raio AC. É áurea a razão entre o raio AC da circunferência de centro C e o lado AB do decágono nela inscrito.

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10.3.10

Resolução II

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.

Tracemos o quadrado ABC’D’. Com centro no ponto K médio de BC’ tracemos o arco KD’ que determina C sobre a recta BC’. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.



Nota: Clicando sobre ao alto da construção, abre um painel de repetir os passos da construção . Se sobre este painel, clicar sobre pode voltar ao início da construção, para depois poder seguir etapas da construção clicando em

9.3.10

Resolução

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado maior AB.

Determinamos o ponto M que divide o segmento AB em média e extrema razão. Sobre a perpendicular a AB em A tomamos D tal que AD = AM. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.


Nota: Clicando sobre ao alto da construção, abre um painel de repetir os passos da construção . Se sobre este painel, clicar sobre pode voltar ao início da construção, para depois poder seguir etapas da construção clicando em



Determinar um rectângulo de ouro (II)

Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.


2014
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