22.12.08

Propriedade do eixo antiórtico

As bissectrizes externas de um triângulo ABC passam pelos pontos definidores da polar trilinear do seu incentro ou eixo antiórtico. Ou seja, os pés das bissectrizes externas estão sobre o eixo antiórtico.



tro.

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Eixo antiórtico

O eixo antiórtico de um triângulo ABC é a polar trilinear do seu incentro.



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16.12.08

Propriedade da recta de Gergonne

Dado um triângulo ABC, e consideremos os dois triângulos EaEbEc dos exincentros e MaMbMc dos pontos médios dos lados. Existe uma homologia que transforma um no outro, cujo eixo é a recta de Gergonne.




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Recta de Gergonne

No triângulo ABC, Ge é o seu ponto de Gergonne. Se determinarmos a sua polar trilinear, obtemos a “recta de Gergonne”.



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9.12.08

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo EaEbEc dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A*B*C*. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A*B*C* é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A*B*C* é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



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2.12.08

Outra determinação do Ponto de Bevan

O circuncentro do triângulo dos exincentros EaEbEc é o ponto de Bevan, o que é o mesmo que dizer que as mediatrizes do triângulo dos exincentros se intersectam no ponto de Bevan.



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Ponto de Bevan

No triângulo ABC, tomemos os três exincentros Ea, Eb, Ec. Por cada um deles tiremos perpendiculares respectivamente aos lados a, b, c. As três perpendiculares intersectam-se num ponto: “ponto de Bevan” Bv.



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27.11.08

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:

O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares.


Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


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25.11.08

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



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Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo IaIbIc dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de IaIbIc; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice Ib, a simétrica da mediana IbMb' passa pelo ponto médio Mb do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de IaIbIc basta, portanto, traçar as rectas IaMa,IbMb, IcMc. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" Md.



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