27.11.08

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:

O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares.


Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


Etiquetas: ,

25.11.08

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



Etiquetas: ,

Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo IaIbIc dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de IaIbIc; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice Ib, a simétrica da mediana IbMb' passa pelo ponto médio Mb do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de IaIbIc basta, portanto, traçar as rectas IaMa,IbMb, IcMc. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" Md.



Etiquetas:

20.11.08

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


Ponto de Euler

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, A'BC, AB'C e ABC' intersectam-se no ponto E de Euler.

11.11.08

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



Etiquetas:

Ponto de Fhurmann

O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simérico de O em relação a Sp.


Etiquetas:

10.11.08

Ponto de Schiffler

Seja I o centro do círculo inscrito a [ABC]. Definamos os seguintes triângulos: [AIB], [AIC], [BIC]. Schiffler provou que as rectas de Euler dos quatro triângulos têm um ponto comum; designámo-lo por Sch.





e – recta de Euler do triângulo [ABC]
e1 – recta de Euler do triângulo [AIB]
e2 – recta de Euler do triângulo [BIC]
e3 – recta de Euler do triângulo [AIC]

Etiquetas:

4.11.08

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.




Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

Etiquetas:

3.11.08

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [MaMbMc] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [MaMbMc].






Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam Ea, Eb, Ec os seus centros. Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por ea, eb, ec. O triângulo formado pelas rectas ea, eb, ec é homotético do triângulo medial de ABC; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



Etiquetas:

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção