A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

30.8.08

Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.




  • O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.


  • O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.




    O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.


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    27.8.08

    Mais propriedades do Ponto Lemoine


    • Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.




    • O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).





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    Ponto de Lemoine

    Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



    Como pode ver na construção anterior em que a figura da direita ré obtida, em grande medida, por translação da figura da esquerda, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.



    Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:


    • As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.

    • A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.

    • O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.

    • As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.




    • As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




    • [KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

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    25.8.08

    Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

    Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice . Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
    As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




    As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando Ma, Mb, Mc as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'a, M'b, M'c), obtemos |MMb|.|M'M'b|=|MMc|.|M'M'c|, como pode confirmar na construção que se segue:




    As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.



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    16.8.08

    Recíproco do Ortocentro

    Ao recíproco do Ortocentro damos o nome de Retrocentro. Assim:



    Interessante é verificar que o Retrocentro e os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel (recíprocos) são colineares. Como pode ver na construção seguinte:


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    6.8.08

    Pontos recíprocos

    Tomemos três cevianas do triângulo [ABC] que passam por um ponto P. Verifica-se que as suas conjugadas isotómicas se intersectam num ponto P’. Os pontos P e P´dizem-se “pontos recíprocos”.








    Exerício interactivo:
    Determinar o primeiro ponto de Gergonne do triângulo [ABC] e o seu recíproco.





    Determinado o ponto de Gergonne e o seu recíproco, verifique que esse recíproco coincide com o ponto de Nagel determinando o ponto de Nagel. Não é curioso? Em cada lado do triângulo, os pontos de tangência do incírculo e do exincírculo são simétricos relativamente ao ponto médio do lado.

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    Pontos isotómicos. Rectas isotómicas

    Dois pontos situados num lado de um triângulo dizem-se “isotómicos” se forem simétricos em relação ao ponto médio desse lado. Duas cevianas que pasam pelo mesmo vértice, dizem-se “conjugadas isotómicas” se intersectam o lado oposto em pontos isotómicos. Os pontos D e D’ são isotómicos. As rectas d e d’ são conjugadas isotómicas.


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    2014
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    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção