A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

15.4.08

Homologias: os casos da homotetia, simetria axial e translação.

Homotetia

Trata-se de uma homologia de eixo impróprio e centro próprio. Cada par de pontos homólogos (AA') verifica a relação OA/OA' = OB/O'B' = k, sendo k um número real (razão de homotetia).
No caso particular de ser k = -1, a homotetia é uma simetria central



Simetria axial.

É um caso particular da homologia afim: os pontos homólogos são simétricos em relação ao eixo, obliquamente ou ortogonalmente.




Translação

É uma homologia de centro impróprio e eixo impróprio.


14.4.08

Homologias: o caso da afinidade.

Homologia afim ou afinidade

Trata-se de uma homologia de eixo próprio e centro impróprio. Ou seja, as rectas definidas por pontos homólogos são paralelas. Assim, uma afinidade fica definida dando o eixo (eixo de afinidade) e um par de pontos homólogos (direcção de afinidade).
As construções de imagens afins de uma figura dada são análogas às utilizadas na homologia, tendo, porém em conta que não existem rectas limite.




Exercício interactivo

Dado o quadrilátero [ABCD], determine os vértices do seu transformado na afinidade definida pelo eixo e e que a A faz corresponder A'.


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7.4.08

Homologia e parábola

Exercício interactivo
Numa dada homologia de centro O, recta limite l e eixo e, uma dada circunferência tem por imagem uma parábola. Determine o vértice dessa parábola.

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1.4.08

Parábola e homologia

Uma homologia está definida pelo centro O, pela recta limite l e pelo eixo e. Determinar, nessa homologia, a cónica transformada da circunferência dada, tangente a l no ponto T.





O ponto T de tangência entre a circunferência e a recta limite l vai ter como homólogo o ponto do infinito da cónica que, por consequência, será uma parábola. A direcção do eixo da parábola é, portanto, a recta OT.

Sabemos que a tangente à parábola no seu vértice é perpendicular ao eixo. Logo, a recta OL, perpendicular a OT dá a direcção da tangente no vértice. Se por L traçarmos a tangente à circunferência, o ponto V de tangência tem como homólogo o ponto V´, vértice da parábola.

Para definir a parábola basta obter os transformados de dois pontos da circunferência; determinados esses dois pontos e os seus simétricos em relação ao eixo, ficamos com cinco pontos.

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24.3.08

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência


Exercício interactivo


Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.







Ver artigos precedentes.

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Hipérbole e homologia

O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.




Sejam L1 e L2 os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T1 a intersecção da tangente t1 com e e T2 a intersecção da tangente t2 com e. A paralela por T1 a OL1 e a paralela por T2 a OL2 são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.

A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.

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18.3.08

Focos da elipse homóloga de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.


17.3.08

Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.




Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL1 e OL2 definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL1 e OL2 devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL1 e OL2, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.


Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção