1.4.08

Parábola e homologia

Uma homologia está definida pelo centro O, pela recta limite l e pelo eixo e. Determinar, nessa homologia, a cónica transformada da circunferência dada, tangente a l no ponto T.





O ponto T de tangência entre a circunferência e a recta limite l vai ter como homólogo o ponto do infinito da cónica que, por consequência, será uma parábola. A direcção do eixo da parábola é, portanto, a recta OT.

Sabemos que a tangente à parábola no seu vértice é perpendicular ao eixo. Logo, a recta OL, perpendicular a OT dá a direcção da tangente no vértice. Se por L traçarmos a tangente à circunferência, o ponto V de tangência tem como homólogo o ponto V´, vértice da parábola.

Para definir a parábola basta obter os transformados de dois pontos da circunferência; determinados esses dois pontos e os seus simétricos em relação ao eixo, ficamos com cinco pontos.

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24.3.08

Focos da hipérbole homológica de uma circunferência


Exercício interactivo


Dada uma homologia centro O, eixo e e recta limite l, determinar os focos da hipérbole homológica da circunferência dada.







Ver artigos precedentes.

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Hipérbole e homologia

O que foi dito acerca da determinação de centro, diâmetros conjugados e eixos de uma elipse, é inteiramente aplicável à hipérbole. Mas não é bom caminho: a hipérbole tem uma característica que permite substituir aqueles processos trabalhosos usados na elipse por um processo único e bem mais simples. De facto, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são tangentes em pontos do infinito; logo as assíntotas são as rectas homólogas das tangentes à circunferência nos pontos de intersecção com a recta limite.




Sejam L1 e L2 os pontos de intersecção da recta limite com a circunferência. Sejam T1 a intersecção da tangente t1 com e e T2 a intersecção da tangente t2 com e. A paralela por T1 a OL1 e a paralela por T2 a OL2 são as assíntotas da hipérbole. O transformado da intersecção C das tangentes é o centro C' da hipérbole.

A bissectriz C'A' das assíntotas é o eixo da hipérbole que intersecta o eixo de homologia em J. A recta JC intersecta a circunferência nos pontos A e B; as rectas OA e OB determinam os vértices A' e B' da hipérbole.

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18.3.08

Focos da elipse homóloga de uma circunferência

Exercício interactivo

Dada uma homologia pelos seus centro, eixo e recta limite, determinar os focos da elipse que se obtém como transformada de uma dada circunferência por essa homologia.


17.3.08

Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.




Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL1 e OL2 definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL1 e OL2 devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL1 e OL2, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.


Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.

12.3.08

Diâmetros conjugados e homologia

Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.






Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L1 de l, tracemos as tangentes t1 e t2 à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T1 e T2, intersecta l num ponto que designamos por L2; tracemos as tangentes t3 e t4 à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T3 e T4, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T1T2] e [T3T4] são um par de diâmetros conjugados da cónica.

Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t3 e t4.

10.3.08

Homologia e circunferência

Exercício interactivo

Determinar o transformado de uma dada circunferência por uma homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l.



3.3.08

Circunferência transformada em hipérbole

Exercício interactivo

Determinar a cónica que é homóloga de uma dada circunferência por uma homologia de centro O, eixo e e recta limite l em que esta intersecta a circunferência em dois pontos.





A circunferência tem dois pontos comuns com a recta limite. Dois pontos da circunferência têm homólogos impróprios; logo, o transformado da circunferência é uma hipérbole.

Homologia e circunferência

Uma homologia está definida pelo centro O, recta limite l, eixo e. Dada uma circunferência qual o seu transformado por essa homologia? O seu transformado é sempre uma cónica. Pode ser uma elipse (incluindo a circunferência), uma parábola ou uma hipérbole. E, como qualquer cónica fica univocamente definida por cinco dos seus pontos, para obter a cónica homóloga a uma circunferência precisaremos de obter, no máximo, imagens de 5 dos seus pontos.

Vejamos um processo simples de obter pares de pontos da uma cónica com base na construção indicada em 11/02/2008. Dada uma homologia definida por O, e, l, pretendemos determinar a cónica transformada da circunferência dada. Tracemos a recta r que intersecta a circunferência em A e B, a recta limite em L e o eixo em E. Unamos O e L. Por E tracemos uma paralela r' a OL. A intersecção de r' com OA é A'; a intersecção de r' com OB é B'. A corda [AB] da circunferência tem assim como homóloga a corda [A'B'] da cónica imagem.



2.3.08

Homologia sobre rectas paralelas

Exercício Interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas paralelas r e s.


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção