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27.8.08

Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como pode ver na construção anterior em que a figura da direita ré obtida, em grande medida, por translação da figura da esquerda, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.



Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:


  • As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.

  • A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.

  • O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.

  • As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.




  • As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




  • [KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

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