26.6.07

Pontos duplos

Se numa involução houver um ponto M tal que |OM|2 = k, diz-se que M é ponto duplo [ou que (M,M) é um par da involução]. Numa involução apenas pode haver 0 pontos duplos (elíptica) ou 2 pontos duplos (hiperbólica).
Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:

|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|2 = |ON|2 = k

Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:

(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.



Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'; tracemos uma recta que passe por O e intersecte a circunferência (em K e L). Temos de encontrar, caso seja possível, as circunferências que passam por K e L e são tangentes à recta r.



Onde está o outro ponto duplo?




[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, K e L. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|2= |OA|*|OA'|= |OK|*|OL| e T é um ponto de tangência da circunferência tangente a OA que passa por K e L. T é um dos pontos duplos da involução considerada.]




Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe KL tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma . Note-se que, no caso da nossa figura, os pontos K e L se situam ambos do mesmo lado em relação a r. Se K e L se situassem em lados opostos da recta não haveria qualquer ponto duplo - qualquer circunferência intersectaria a recta em dois pontos

Transformado por uma involução

Considere uma involução definida por dois pares A, A' e B, B' de pontos colineares. Determine o transformado de um ponto C, alinhado com os outros quatro, pela involução antes definida.



Centro de uma involução.

Dados dois pares de pontos em involução, determinar o centro O da involução

Consideremos uma involução definida sobre uma recta r por dois pares de elementos conjugados, (A,A') e (B,B'); vejamos como proceder para obter o centro O da involução:

Tracemos uma circunferência qualquer passando por A e A'; outra passando por B e B', de modo que se intersectem. Tracemos o eixo radical das duas circunferências. A intersecção do eixo radical com a recta r determina o ponto O. Basta recordar que o eixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos que têm igual potência em relação às duas circunferências; logo |OA|.|OA'| = |OB|.|OB'|

Como determinar um novo par? Claro que, qualquer circunferência que faça parte do feixe definido por este eixo radical, define novo par de elementos conjugados.





Se mantiver fixos os pontos A, A', B e B', deslocando os centros das circunferências (enquanto se intersectem), verá que o ponto O se mantém invariante. Claro que se deslocar os pontos A, A', B e B' verificará que o ponto O muda (é centro de uma nova involução).




Dado um par de pontos em involução, o centro e um dos elementos de outro par, determinar a sua imagem

São dados o centro O, o par (A,A') e o ponto B. Pede-se o ponto B' conjugado de B.

Tracemos uma circunferência qualquer que contenha A e A'. Por O façamos passar uma recta que intersecte a circunferência e que vai ser o eixo radical de um feixe de circunferências. A circunferência que passa por B, K, L determina B´sobre r.

22.6.07

Involução

António Aurélio Fernandes não descansa. Por força da sua saudável teimosia, andamos a procurar a melhor abordagem a algumas transformações geométricas afastadas dos programas escolares.
Hoje apresentamos uma transformação que é muitas vezes usada, com vantagem, na resolução de problemas de régua e compasso envolvendo cónicas. Nunca sabemos se o fazemos bem. Mas aqui fica uma tentativa que, depois de todas as voltas acabou praticamente na forma da sugestão inicial de António Aurélio Fernandes. A vida é feita de derrotas... para uns e vitórias... para outros. Mais coisa menos coisa.

Na construção que se segue, verá que para cada recta r definida por dois pontos R e S, a cada ponto P de r corresponde um ponto P' tal que |OP|.|OP'|=k. Deslocando P sobre r verá que esse produto é invariante qualquer que seja o ponto P e correspondente P'.






A esta aplicação que faz corresponder a cada ponto P de r um outro ponto P' da mesma recta, de tal modo que |OP|.|OP'|=k, chamamos involução de centro O e constante k.


Deslocando R ou S, obterá nova recta e, logo, um novo centro O e uma nova constante k. Poderá mover C e confirmará que a cada ponto P corresponderá um ponto P' mantendo-se invariante (para cada recta RS) o produto |OP|.|OP'|.


É muito interessante e potente este resultado.Muitas perguntas, muitos problemas são sugeridos imediatamente pela definição. Por exemplo, para cada recta e para cada constante qual o centro da involução?

Porque será que aquele produto é constante, quando P varia sobre a recta? É disso que vamos tratar, dando exemplos de involuções conhecidas...(?)

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20.6.07

Hipérbole -Assíntotas e tangente.





Aqui fica uma primeira experiência em GeoGebra, livre de encargos, que recomendamos vivamente para ser usado no ensino. O resultado a que se refere ajuda a resolver um exercício interactivo recentemente poposto.

15.6.07

Diâmetro conjugado

Da hipérbole definida pelos seus vértices e uma assíntota é dado um diâmetro [AB]. Determinar o seu conjugado.


11.6.07

Dos diâmetros conjugados para os eixos

Há problemas em que se tem um par de diâmetros conjugados e se põe a questão de determinar os eixos. Vejamos um processo prático para determinar os eixos (Luís Veiga da Cunha. Desenho Técnico. Fundação Calouste Gulbenkian. Lisboa ).




Sejam [AB] e [CD] um par de diâmetros conjugados. Após termos verificado que [CD] é o menor diâmetro, tomamo-lo como diâmetro de uma circunferência. Tracemos a mediatriz m de [CD] e os pontos K e L de intersecção de m com a circunferência. Por um dos extremos do diâmetro maior (A na imagem), tracemos as semi-rectas AK e AL. A bissectriz do ângulo KÂL dá a direcção do eixo maior. Já podemos traçar, com intersecção em O, o par de rectas perpendiculares (a azul) que contêm os eixos.

Sendo Q a intersecção da semi-recta AL com a recta que contém o eixo menor, |AQ| é o comprimento do semi-eixo maior |QL| é o comprimento do semi-eixo menor.

8.6.07

Diâmetros conjugados segundo Apolónio

Teoremas de Apolónio:
  1. Numa elipse a soma dos quadrados de dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à soma dos quadrados dos dois semi-eixos: |AO|2 + |CO|2 = a2 + b2.
    Na construção que se segue, pode deslocar os pontos A, F2 e V1, confirmando esta afirmação.
  2. A área do paralelogramo construído sobre dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à área do rectângulo construído sobre os semi-eixos.
  3. Pode deslocar os pontos A, F e V1 para confirmar este resultado.
    O mesmo se passa com a hipérbole. Pode deslocar S, V1, O e F2 para confirmar o resultado.

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6.6.07

Diâmetro conjugado

Seja [AB] um diâmetro; tracemos uma corda [PQ] paralela a AB; o ponto I de intersecção das tangentes em P e Q à cónica e o ponto O definem o diâmetro [CD] conjugado de [AB].



28.5.07

Feixe harmónico: assintotas e diâmetros

Numa hipérbole, os pares de diâmetros conjugados são conjugados harmónicos em relação às assíntotas. Na construção que se segue, temos o diâmetro d1 definido pelos pontos A e B; o seu conjugado d2 é a recta que passa pelo centro e é paralela às tangentes à hipérbole em A e B. Ou seja, (a1d2a2d1) é um feixe harmónico o que se confirma verificando que determina numa recta r um quaterno harmónico (MNM'N'). [(a1d2a2d1) =(MNM'N')=-1]







Na construção, pode deslocar os pontos M e M'.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção