A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

15.6.07

Diâmetro conjugado

Da hipérbole definida pelos seus vértices e uma assíntota é dado um diâmetro [AB]. Determinar o seu conjugado.


11.6.07

Dos diâmetros conjugados para os eixos

Há problemas em que se tem um par de diâmetros conjugados e se põe a questão de determinar os eixos. Vejamos um processo prático para determinar os eixos (Luís Veiga da Cunha. Desenho Técnico. Fundação Calouste Gulbenkian. Lisboa ).




Sejam [AB] e [CD] um par de diâmetros conjugados. Após termos verificado que [CD] é o menor diâmetro, tomamo-lo como diâmetro de uma circunferência. Tracemos a mediatriz m de [CD] e os pontos K e L de intersecção de m com a circunferência. Por um dos extremos do diâmetro maior (A na imagem), tracemos as semi-rectas AK e AL. A bissectriz do ângulo KÂL dá a direcção do eixo maior. Já podemos traçar, com intersecção em O, o par de rectas perpendiculares (a azul) que contêm os eixos.

Sendo Q a intersecção da semi-recta AL com a recta que contém o eixo menor, |AQ| é o comprimento do semi-eixo maior |QL| é o comprimento do semi-eixo menor.

8.6.07

Diâmetros conjugados segundo Apolónio

Teoremas de Apolónio:
  1. Numa elipse a soma dos quadrados de dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à soma dos quadrados dos dois semi-eixos: |AO|2 + |CO|2 = a2 + b2.
    Na construção que se segue, pode deslocar os pontos A, F2 e V1, confirmando esta afirmação.
  2. A área do paralelogramo construído sobre dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à área do rectângulo construído sobre os semi-eixos.
  3. Pode deslocar os pontos A, F e V1 para confirmar este resultado.
    O mesmo se passa com a hipérbole. Pode deslocar S, V1, O e F2 para confirmar o resultado.

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6.6.07

Diâmetro conjugado

Seja [AB] um diâmetro; tracemos uma corda [PQ] paralela a AB; o ponto I de intersecção das tangentes em P e Q à cónica e o ponto O definem o diâmetro [CD] conjugado de [AB].



28.5.07

Feixe harmónico: assintotas e diâmetros

Numa hipérbole, os pares de diâmetros conjugados são conjugados harmónicos em relação às assíntotas. Na construção que se segue, temos o diâmetro d1 definido pelos pontos A e B; o seu conjugado d2 é a recta que passa pelo centro e é paralela às tangentes à hipérbole em A e B. Ou seja, (a1d2a2d1) é um feixe harmónico o que se confirma verificando que determina numa recta r um quaterno harmónico (MNM'N'). [(a1d2a2d1) =(MNM'N')=-1]







Na construção, pode deslocar os pontos M e M'.

26.5.07

Elipse: diâmetros conjugados

Na elipse da construção tomámos uma corda [AB] que (é polar) tem um pólo P exterior que é a intersecção das tangentes à cónica em A e em B.





Na construção acima pode deslocar o ponto B: há uma posição em que a corda passa pelo centro O e se torna um diâmetro. Qual o seu pólo? Como as tangentes ficaram paralelas, o pólo P é o “ponto do infinito” dessa direcção (um ponto impróprio).
A polar do ponto do infinito da direcção definida pelas paralelas ao diâmetro [AB] vai ser o diâmetro [CD].



Mantenhamos a corda [AB] a passar pelo centro. Dois diâmetros, tais como [AB] e [CD] dizem-se “conjugados”: cada um é a polar da direcção definida pelo outro.



É óbvio que sendo dois diâmetros conjugados, cada um bissecta as cordas paralelas ao outro.

21.5.07

Conjugados e separação harmónica

Os pontos conjugados de uma secante p a uma elipse são conjugados harmónicos relativamente aos pontos R e S de intersecção de p com a elipse: (P’RMS) = -1.




2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção