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28.5.07

Feixe harmónico: assintotas e diâmetros

Numa hipérbole, os pares de diâmetros conjugados são conjugados harmónicos em relação às assíntotas. Na construção que se segue, temos o diâmetro d1 definido pelos pontos A e B; o seu conjugado d2 é a recta que passa pelo centro e é paralela às tangentes à hipérbole em A e B. Ou seja, (a1d2a2d1) é um feixe harmónico o que se confirma verificando que determina numa recta r um quaterno harmónico (MNM'N'). [(a1d2a2d1) =(MNM'N')=-1]







Na construção, pode deslocar os pontos M e M'.

26.5.07

Elipse: diâmetros conjugados

Na elipse da construção tomámos uma corda [AB] que (é polar) tem um pólo P exterior que é a intersecção das tangentes à cónica em A e em B.





Na construção acima pode deslocar o ponto B: há uma posição em que a corda passa pelo centro O e se torna um diâmetro. Qual o seu pólo? Como as tangentes ficaram paralelas, o pólo P é o “ponto do infinito” dessa direcção (um ponto impróprio).
A polar do ponto do infinito da direcção definida pelas paralelas ao diâmetro [AB] vai ser o diâmetro [CD].



Mantenhamos a corda [AB] a passar pelo centro. Dois diâmetros, tais como [AB] e [CD] dizem-se “conjugados”: cada um é a polar da direcção definida pelo outro.



É óbvio que sendo dois diâmetros conjugados, cada um bissecta as cordas paralelas ao outro.

21.5.07

Conjugados e separação harmónica

Os pontos conjugados de uma secante p a uma elipse são conjugados harmónicos relativamente aos pontos R e S de intersecção de p com a elipse: (P’RMS) = -1.




19.5.07

Elementos conjugados

Consideremos um ponto P e seja p a sua polar em relação à elipse. A polar p’ de um ponto P’ que pertence a p é uma recta que contem P. Os pontos P e P’ dizem-se conjugados; as rectas p e p’ são conjugadas. Na construção a seguir pode deslocar P.





Dois pontos são conjugados se cada um pertence à polar do outro.
Duas rectas são conjugadas se cada uma passa pelo pólo da outra.
No triângulo [PP’M] cada vértice é o pólo do lado oposto; diz-se, por isso, autopolar.

18.5.07

Elipse: Da polar ao pólo

Dada uma recta p e uma elipse, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à elipse




14.5.07

Da polar ao polo

Apresentámos a determinação da polar de um ponto dado relativamente a uma cónica dada. Agora, aqui deixamos um exercício interactivo de determinação do pólo de uma recta dada relativamente a uma dada cónica.

Dada uma recta p e uma cónica c1, determinar um ponto P que seja o pólo de p relativamente à cónica c1







Nota: A construção deste exercício foi muito elucidativa das dificulades em trabalhar com reconhecimento de pontos obtidos por construções que recorram à incidência de um ponto sobre uma cónica qualquer. Embora ReC reconheça a incidência e faça deslizar um ponto sobre uma cónica não é garantido utilizar esse ponto ou as suas coordenadas aproximadas em ulteriores determinações delas dependentes.

2.5.07

Elipse: Polo (interior) e polar

Construção da polar de um ponto P interior.

Podemos utilizar o método do quadrilátero circunscrito.
Por P traçamos duas cordas [AC] e [BD]. As tangentes à elipse nos extremos das cordas formam um quadrilátero completo. Os vértices M e N determinados por lados opostos do quadrilátero definem a polar de P.





Repare-se que BC e AD se intersectam sobre a polar de P e, obviamente, o mesmo acontecerá com a intersecção de AB com CD.

Podíamos ter optado pelo quadrilátero inscrito determinado pelos extremos das cordas, o que nos poupa da determinação de tangentes à elipse.



Esta construção serve tambem para determinar o polo de uma recta exterior relativamente a uma elipse.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção