17.4.07

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente os pontos A e B, as imagens por projecção paralela sobre s, C' e D' separam harmonicamente os pontos A' e B'.




Na construção, pode deslocar os pontos A,B e C sobre r, bem como P fazendo variar s.

12.4.07

Quadrilátero completo

Chamamos quadrilátero completo à figura formada por 4 rectas (lados) que se cortam duas a duas, de tal modo que haja 6 intersecções (vértices). Às 3 rectas definidas por vértices não consecutivos, damos o nome de diagonais e ao triângulo por elas formado, damos o nome de triângulo diagonal.



E, como é óbvio, cada diagonal é dividida harmonicamente pelas outras duas.
Claro que se movimentar A até que P seja o ponto médio de [AB], verá que CE fica paralelo a AB e deixamos de ter o triângulo diagonal (Q está no infinito ou, se quisermos, é um ponto impróprio). Dito de outro modo, não falamos do conjugado harmónico de P relativamente a A e a B, se P for ponto médio de [AB] ( se fosse |AP|=|BP|, para haver conjugado harmónico de P relativamente a A e B, teria de haver em AB um ponto Q fora de [AB] tal que |AQ|=|BQ|).

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4.4.07

Conjugados harmónicos, com régua

Sejam [AB] e P de [AB]. A partir de A e B construimos um quadrilátero completo de vértices A, B, C, D, E e F obrigando a que uma diagonal passe por P (E tem de ficar determinado sobre a recta PC). A outra diagonal DF intersecta AB em Q, que é o conjugado harmónico de P relativamente a A e B.



Na figura, pode movimentar o ponto C e verificar que as mudanças no quadrilátero não influenciam e para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Movimentando o ponto P verifica que as variações de comprimentos dos vectores não prejudicam a igualdade das razões. Para cada ponto P há um conjugado Q relativamente a A e B.
Claro que também pode movimentar A e B e verificar que para cada par (A,B) há um conjugado de P.


À margem:
Estas entradas sobre divisões harmónicas resolvem problemas de divisão e multiplicação de segmentos (em linha).
Se P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B, |AP|/|BP|=|AQ|/|BQ|. Por exemplo, dizer que |AP|/|BP|=3 é o mesmo que dizer |AB|=4|BP| e determinar o conjugado de P é determinar um ponto Q tal que |AQ|=3|BQ|.
|AB|=|AQ|-|BQ|=2|BQ|, logo |AQ|=1,5|AB|

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Conjugados harmónicos, com régua e compasso.

Sabendo que as bissectrizes do ângulo C de um triângulo [ABC] determinam sobre AB conjugados harmónicos relativamente a [AB], podemos tratar de encontrar um processo geral para determinar o conjugado de um ponto qualquer da recta AB relativamente a A e B.

Tomando a mediatriz de [AB] e uma circunferência que passe por A e B, bem como o diâmetro [MN] sobre a mediatriz , a recta que passa por M e qualquer ponto P entre A e B é a bissectriz de um ângulo ACB, em que C é um ponto de MP sobre a circunferência. A recta NC é bissectriz externa do mesmo ângulo e, por isso, intersecta AB em Q que é o conjugado de P. De modo análogo, podemos partir de um ponto exterior a [AB] unindo-o a N para determinar o seu conjugado relativamente a A e B.




Na figura, pode movimentar o centro O da circunferência e verificar que para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Ao movimentar o ponto P verifica que para cada ponto P há um conjugado Q. Pode também movimentar A e B.

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harmonia triangular

Seja o triângulo [ABC] e as bissectrizes interna e externa do ângulo C que intersectam a recta AB em P (entre A e B) e Q. Estão dados os comprimentos |PA|, |PB|, |QA| e |QB|, para verificar que |PA|/|PB|= |QA|/|QB|. Pode mover os potos A, B sobre a recta r e C livremente na folha. Constatará que as razões se mantém iguais.




Quando há esta relação de igualdade entre as razões |PA|/|PB| e |QA|/|QB|, dizemos que é harmónica a separação operada por P e Q no segmento [AB] e que P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B.

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Para continuar as cónicas mais adiante

Só aparentemente é que vamos interromper a série de propridades e exercícios sobre cónicas. Para continuar esse trabalho, sentimos necessidade de fazer algumas viagens por conceitos que não são leccionados nas escolas portuguesas e são, por isso, estranhos à maioria dos leitores portugueses deste "blog".
Cónicas, até já!

Em busca da hipérbole IV

Traçar uma hipérbole de que se conhece um ponto Q, uma assíntota a1 e uma directriz d1.


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2.4.07

Em busca da hipérbole III

Traçar uma hipérbole de que se conhece um ponto Q, uma assíntota a1 e as duas directrizes, d1 e d2.

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30.3.07

Em busca da hipérbole II

Determinar uma hipérbole de que se conhecem dois ponto P e Q, uma direcção assíntótica a1 e a directriz d1.



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Em busca da hipérbole I

Apresentadas algumas propriedades das hipérboles, é altura de procurarmos uma ou outra a partir de alguns elementos.

Determinar a hipérbole que passa pelo ponto P, admite a1 como assíntota e tem F1 como foco.




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20.3.07

Hipérbole: assintotas e directrizes.

Há problemas referentes a hipérboles em que é necessário calcular a excentricidade (e = c/a) ou a distância das directrizes a O (d = a/e = a^2/c). Pode utilizar-se o processo clássico de recurso ao teorema de Thales (a/c = 1/e, e/a = 1/d, c/a = a/d), como se ilustra na figura que se segue.
Há, porém, relações entre os elementos da hipérbole que permitem obter de modo muito mais simples a posição de uma directriz.




Pelo foco F2 tiremos tangentes ao círculo principal; os pontos de tangência T1 e T2 definem a directriz d2. De facto, no triângulo [OT1F2] temos:
|OT'|/|OT1| = |OT1|/|OF2| ou |OT'|/a = a/c ou |OT'| = a^2/c

T' é a intersecção da directriz com o eixo transverso.
Pela forma como foi feita a construção, conclui-se que uma directriz da hipérbole é a polar do respectivo foco relativamente ao círculo principal.






A recta OT2 é assíntota. Basta notar que os triângulos [OT'T2] e [OV2J] são semelhantes.




A distância de um ponto P da hipérbole a um foco é igual à distância de P à directriz correspondente a esse foco, lida numa paralela, que passe por P, a uma assíntota.





Por P tracemos uma paralela à assíntota a1. Por definição de hipérbole é |PF2|/|PP'| = c/a ou a/|PP'|=c/|PF2|. Porque os triângulos [PP'Q] e [OCF2] são semelhantes, é |OC|/|PP'|=|OF2|/|PQ|=|CF2|/|P'Q| ou a/|PP'| = c/|PQ|. Verifica-se, portanto, que |PF2| = |PQ|.

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Da elipse para a hipérbole

A hipérbole pode ser definida como um lugar geométrico de pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos, F e F', fixos é constante, 2a>0. Ou, dito de outro modo:
Dados dois pontos, F e F' e um segmento 2a de comprimento menor que |FF'|, ao lugar geométrico dos ponto P tais que |PF|+2a=|PF'| chamamos hipérbole.

Também interessa ter sempre presente, à semelhança do que dissémos para as outras cónicas, que

chamamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a um ponto (foco) e a uma recta (directriz) estão numa razão constante (maior que 1).

Por estas definições, se torna óbvio que às propriedades da elipse se podem associar propriedades análogas da hipérbole. Várias destas analogias podem ser vistas em ilustrações já publicadas neste "lugar geométrico".

O que foi referido para secantes e tangentes da elipse é aplicável com a adaptação conveniente a secantes e tangentes da hipérbole.

Nos artigos que se seguem, iremos tratar de propriedades da hipérbole que nos parecem merecer referência por não serem comuns à elipse real.

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2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção