11.7.06

Quinto despertar dos geómetras.

Triângulo órtico; ortocentro

Dado o triângulo [ABC], sejam Ha, Hb e Hc os pés das alturas. O triângulo [HaHbHc] é o "triângulo órtico" do triângulo dado.


Verifica-se que:

  • os lados de um triângulo (acutângulo) são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico;


  • as alturas de um triângulo são as bissectrizes do triângulo órtico;


  • o triângulo órtico é o o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito em [ABC];


  • a área de um triângulo é dada por p'.R, produto do semi-perímetro do triângulo órtico pelo raio do círculo circunscrito;


  • os pontos A, B, C, H gozam da propriedade seguinte: qualquer um deles é ortocentro do triângulo formado pelos outros três.


  • os vértices de um triângulo são os exincentros do seu triângulo órtico;


  • o ortocentro de um triângulo é incentro do seu triângulo órtico;



  • 3.7.06

    Quarto despertar dos geómetras.

    Mais propriedades dos círculos exinscritos

  • Dado um triângulo [ABC], os pontos Ia, Ib e Ic, centros dos círculos exinscritos, definem uma circunferência. Seja Oe o seu centro; o ponto Oe e o incentro I definem um segmento |OeI| cujo ponto médio é o centro O do círculo circunscrito. O raio do círculo dos exincentros tem comprimento duplo do raio do círculo circunscrito: Re = 2R.


  • Se, a partir de Ia e de I, tirarmos perpendiculares para o lado [BC], os pés das perpendiculares definem um segmento cujo ponto médio é Ma, ponto médio do lado. O mesmo se passa com I, Ib e I, Ic.


  • O círculo circunscrito contem os pontos médios dos lados do triângulo de vértices Ia, Ib, Ic. E contém também os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro a I.


  • as circunferências BCIa, CAIb, ABIc passam pelo incentro I;


  • notícias da conspiração

    De vez em quando, quando tudo me parece parado que é quando me ocupo com o reboco de alguma lamentação doentia sobre o que não é nem matemática nem ensino da glória, ouço vozes que me avisam sobre o "estalar da porcelana da noitinha da geometria". O António Aurélio e a Mariana continuaram a estudar os problemas e a geometria do triângulo e há quem diga que há propriedades que escaparam a toda a gente, mas foram apanhadas nas redes de pesca da Mariana que não se cansa de desenhar na praia. Já ando a pedir as necessárias autorizações, apoios e tempo para tornar públicas as elocubrações marianas, em primeira mão, neste lugar geométrico. Não resisto a falar disto para aguçar o apetite de algum eventual leitor tentado a ir de férias sem querer saber.

    No dia 17 de Julho, Arsélio & Aurélio encontrar-se-ão em Famalicão, com Cinderella, com a geometria e com professores de uma ecola básica. Não há encontros felizes?

    ass. Arsélio Martins

    25.6.06

    Dividir um triângulo em dois, de outro modo.

    Determinar [DE], paralela a AB, que divide [ABC] em dois polígonos equivalentes


    Dividir um triângulo em dois

    Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Clique no enunciado.
    Determinar [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes


    24.6.06

    Partindo um quadrilátero em dois...

    Há um mês atrás, a 24 de Maio, tínhamos proposto alguns problemas de divisão em partes equivalentes. Voltamos a eles como propostas de exercícios interactivos. Manda o culto mariano que o último deles, de aparência simples, seja o primeiro. Assim seja:
    Determinar E de tal modo que DE divida o quadrilátero [ABCD] em dois polígonos equivalentes


    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção