3.7.06

Quarto despertar dos geómetras.

Mais propriedades dos círculos exinscritos

  • Dado um triângulo [ABC], os pontos Ia, Ib e Ic, centros dos círculos exinscritos, definem uma circunferência. Seja Oe o seu centro; o ponto Oe e o incentro I definem um segmento |OeI| cujo ponto médio é o centro O do círculo circunscrito. O raio do círculo dos exincentros tem comprimento duplo do raio do círculo circunscrito: Re = 2R.


  • Se, a partir de Ia e de I, tirarmos perpendiculares para o lado [BC], os pés das perpendiculares definem um segmento cujo ponto médio é Ma, ponto médio do lado. O mesmo se passa com I, Ib e I, Ic.


  • O círculo circunscrito contem os pontos médios dos lados do triângulo de vértices Ia, Ib, Ic. E contém também os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro a I.


  • as circunferências BCIa, CAIb, ABIc passam pelo incentro I;


  • notícias da conspiração

    De vez em quando, quando tudo me parece parado que é quando me ocupo com o reboco de alguma lamentação doentia sobre o que não é nem matemática nem ensino da glória, ouço vozes que me avisam sobre o "estalar da porcelana da noitinha da geometria". O António Aurélio e a Mariana continuaram a estudar os problemas e a geometria do triângulo e há quem diga que há propriedades que escaparam a toda a gente, mas foram apanhadas nas redes de pesca da Mariana que não se cansa de desenhar na praia. Já ando a pedir as necessárias autorizações, apoios e tempo para tornar públicas as elocubrações marianas, em primeira mão, neste lugar geométrico. Não resisto a falar disto para aguçar o apetite de algum eventual leitor tentado a ir de férias sem querer saber.

    No dia 17 de Julho, Arsélio & Aurélio encontrar-se-ão em Famalicão, com Cinderella, com a geometria e com professores de uma ecola básica. Não há encontros felizes?

    ass. Arsélio Martins

    25.6.06

    Dividir um triângulo em dois, de outro modo.

    Determinar [DE], paralela a AB, que divide [ABC] em dois polígonos equivalentes


    Dividir um triângulo em dois

    Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Clique no enunciado.
    Determinar [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes


    24.6.06

    Partindo um quadrilátero em dois...

    Há um mês atrás, a 24 de Maio, tínhamos proposto alguns problemas de divisão em partes equivalentes. Voltamos a eles como propostas de exercícios interactivos. Manda o culto mariano que o último deles, de aparência simples, seja o primeiro. Assim seja:

    14.6.06

    Dividir de forma rigorosa

    António Aurélio continua a propor combates como se fossem problemas. Como exercícios interactivos aparecem por aqui. E é inevitável serem propostos como combates geométricos. Podem começar a resolver:

    1.      Dado um triângulo [ABC], determinar um ponto O no seu interior tal que os triângulos [OAB], [OBC] e [OCA] sejam equivalentes.




    2.     Por um ponto P exterior a um círculo de centro O, tirar uma secante PAB, tal que a área do triângulo [OAB] seja máxima.
    3.     Dado um círculo, traçar uma circunferência concêntrica que o divida em duas partes equivalentes.
    4.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma recta tirada por um ponto de um dos seus lados.
    5.     Dividir um triângulo [ABC] por paralelas a BC, em 3 partes cujas áreas sejam proporcionais a três comprimentos dados.

    8.6.06

    Terceiro despertar dos geómetras.

    Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I - incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r - círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
    Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo - círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por Ia, Ib, Ic os centros das três circunferências exinscritas.
    Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por Ia, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por Ib, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por Ic. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.


    Propriedades.

  • A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.


  • As circunferências BCIa, CAIb, ABIc intersectam-se em I.


  • Os pontos Ia, Ib, Ic formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.


  • Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.


  • ra + rb + rc= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; ra: exin-raio, etc)


  • |OMa| + |OMb| + |OMc|= r+R


  • |OI|2 = R (R -2 r)


  • |OIi|2= R (R + 2ri), em que i = a, b, c.


  • A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.


  • A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2ri R, com i = a, b, c.


  • Seja T1 o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T2 o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
    |AT2| = p,    |AT1| = p - |BC| e |T1T2| = |BC|.


  • B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [IIa]




    António Aurélio Fernandes informa:
    Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon

  • 2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção