28.3.05

A geometria das desigualdades entre médias

Vamos revisitando problemas de máximos e mínimos para responder a necessidades das aulas. De vez em quando, paramos para organizar algumas ideias que foram discutidas. É o caso deste texto feito para estudantes do 11º ano -- As visitas do problema em viagem. -- mas que se atravessou em várias iniciativas.

Um dos aspectos tem a ver com a interpretação geométrica das médias e das desigualdades entre elas bem como das condições para a sua igualdade. A observação destas propriedades simples serve para esclarecer alguns aspectos que os problemas levantam marginalmente, como: porque é que é um quadrado o rectângulo de área máxima de entre os rectângulos isoperimétricos?





Na circunferência de diâmetro a+b, o raio |OS|=|OP| é a média aritmética de a e b, |CP| é a média geométrica e |HP| é a média harmónica. Clicando sobre a figura, tem-se acesso à construção interactiva. Nesta, pode movimentar o ponto verde que corresponde a modificar os valores de a e b sem mudar a sua soma, para ver em que condições é que o produto é máximo, etc.

Como se podia fazer uma figura para analisar a variação de a+b, sendo ab fixo?



A respeito deste assunto das desigualdades, pode ver referências no capítulo 13 - Fórmula de Herão; desigualdade isoperimétrica -pp 83 a 86 do Curso de Geometria de Paulo Ventura Araújo, publicado pela Gradiva.
Neste capítulo, após demonstrar a Formula de Herão (que relaciona a área de um triângulo com os seus semiperímetro e lados) e que a média geométrica de um n-uplo de reais não negativos é menor que a sua média aritmética, Paulo Ventura Araújo propôe exercícios. Dois deles:
1) Provar que todo o quadrado tem área maior que qualquer tirângulo com o mesmo perímetro.
2) Determinar qual o triângulo de maior área de entre aqueles cuja soma de dois dos lados é uma constante.

Estes problemas podem também ser seguidos no livro já referido Mujeres, manzanas y matemáticas, entretejidas de Xaro Moreno, publicado pela Nivola.


5 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

O teu (vosso)trabalho está um espectáculo. a primeira abordagem já a conhecia e até estava satisfeita com ela!
vou imprimir para ver melhor todo o texto mas pelo que já vi aguçaste-me o apetite.
Porque me agradeces? Não me lembro de ter contribuído com nada, infelizmente.
fiquei tambèm admirada com o blogue que està muito completome rico: NÃO O TENHO VISITADO POR FALTA DE TEMPO MAS JA VI DESaFIOS MUITO GIROS
Um grande abraço e parabéns
Margarida Beça Pereira

11:50 da tarde  
Anonymous Margarida escreveu...

O teu (vosso)trabalho está um espectáculo. a primeira abordagem já a conhecia e até estava satisfeita com ela!
vou imprimir para ver melhor todo o texto mas pelo que já vi aguçaste-me o apetite.
Porque me agradeces? Não me lembro de ter contribuído com nada, infelizmente.
fiquei tambèm admirada com o blogue que està muito completome rico: NÃO O TENHO VISITADO POR FALTA DE TEMPO MAS JA VI DESaFIOS MUITO GIROS
Um grande abraço e parabéns
Margarida Beça Pereira

11:51 da tarde  
Blogger jrrbc escreveu...

Problema: De todos os rectângulos com perímetro 16 unidades, qual tem maior área?

http://www.prof2000.pt/users/jrrbc/

area_perimetro.html

8:41 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

Gosto muito deste teu trabalho.Li-o e mais uma vez me surpreendeu.

G.H.Hardy dizi-a:

«Os padrões do matemático, como os do pintor ou os do poeta, devem ser belos; as ideias, como as cores ou as palavras, devem encaixar-se de forma harmoniosa....Pode ser muito difícil definir a beleza matemática, mas isso é verdade para a beleza de qualquer tipo-podemos não saber muito bem o que significa dizer que um poema é belo, mas isso não impede de o reconhecermos quando o lemos.»

Mariana

11:17 da tarde  
Anonymous beto escreveu...

o perimetro de um triangulo e 42cm e a base mede 5cm a mais do que altura .calcule a area do retangulo. ajude me.....

10:20 da tarde  

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