5.5.20

Dual do problema de Malfatti (da entrada anterior)


[M.I.B.H.S.]:
Dual do problema de Malfatti (geometriagon 868 - enunciado também referido em 5.6.09)

Dados dois círculos circunscrever-lhes os dois triângulos equiláteros de área mínima

A construção vai em anexo:
1. Determinar as tangentes exteriores aos dois círculos (deixei a construção a preto tracejado)
2. Sobre cada tangente construir os triângulos equiláteros com os lados tangentes a cada círculo (deixei a construção de um dos lados, de um dos triângulos, a laranja tracejado.
Esta construção repete-se para os outros lados)


[M.I.B.H.S.]

12.4.20

O original problema de Malfatti


Numa entrada de 5 de Junho de 2009, fala-se de um problema de Malfatti assim anunciado: Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima e uma ilustração que foi restaurada recentemente. Na mesma publicação havia referência a outros problemas interactivos (ilustrações, construções) resolvidos pela Mariana Sacchetti, no projecto Geometriagon em que participámos e nos preocupa por dificuldades do mesmo tipo que nos aflige aqui e nos obriga a restaurar velhas publicações.
Dessas resoluções não vimos as construções e, por isso, a Mariana retoma agora o dito Teorema... a mensagem dela aqui fica acompanhada de construções dinâmicas:


Problema original de Malfatti

Em 1803, Malfatti colocou o seguinte problema:
De um prisma triangular de mármore, retirar três colunas cilíndricas, de volume máximo.
Embora conjeturasse que a solução seria a do problema:
Inscrever num triângulo três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo
e esses círculos viessem a ficar conhecidos por círculos de Malfatti - a maior divulgação do problema foi feita por Gregonne, que ao traduzir para francês ignorou a maximização da área - a verdade é que não são estes os três círculos de área máxima que se podem inscrever num triângulo.

Para encontrar os n círculos de área máxima, inscritos num triângulo, está já provado para n≤3 que o seguinte algoritmo encontra sempre a solução óptima:
  1. Inscrever um círculo de área máxima no triângulo (círculo inscrito)
  2. Inscrever um segundo círculo na esquina que tiver menor ângulo.
  3. Inscrever o terceiro círculo no maior dos cinco espaços restantes.
e , este algoritmo leva-nos a configurações deste tipo (Geometriagon, 870)
Mas também pode levar, em triângulos isósceles em que o ângulo diferente é muito pequeno, à seguinte configuração



Ainda um esclarecimento da Mariana Sacchetti como prenda para Aurélio

1. Constrói-se o incírculo.
    Construção do círculo inscrito no ângulo A
2. Constrói-se um círculo auxiliar tangente aos dois lados do ângulo.
     Seja E o ponto de tangência a um dos lados e D o ponto de interseção com a bissetriz.
3. Seja D’ O ponto de interseção da bissetriz com o incírculo.
     4.Construir o círculo homotético do círculo auxiliar, na homotetia de centro A que transforma D em D’:
    a) Por D’ traça-se uma paralela a DE. Determina-se E’
    b) A perpendicular ao lado AC em E’ determina na bissetriz o centro do círculo que se pretende
Do mesmo modo se constrói o círculo inscrito no ângulo B e no ângulo C.
Os três círculos inscritos no triângulo somando uma área total máxima, são o incírculo e os dois maiores dos restantes três (um em cada ângulo), dependendo de cada triângulo.
A ideia de ter deixado um a tracejado é que, uma vez que pode mexer o triângulo, a solução não será obrigatoriamente os dois que estão a cheio. (na posição da figura que envio, os que interessam são o inscrito no ângulo A e o inscrito no ângulo C)

                    3 de Maio de 2020
                    (data assinalável)
                    Mariana [M.I.H.B.S.]