Numa entrada de 5 de Junho de 2009, fala-se de um problema de Malfatti assim anunciado:
Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima e uma ilustração que foi restaurada recentemente. Na mesma publicação havia referência a outros problemas interactivos (ilustrações, construções) resolvidos pela Mariana Sacchetti, no projecto Geometriagon em que participámos e nos preocupa por dificuldades do mesmo tipo que nos aflige aqui e nos obriga a restaurar velhas publicações.
Dessas resoluções não vimos as construções e, por isso, a Mariana retoma agora o dito Teorema... a mensagem dela aqui fica acompanhada de construções dinâmicas:
Problema original de Malfatti
Em 1803, Malfatti colocou o seguinte problema:
De um prisma triangular de mármore, retirar três colunas cilíndricas, de volume máximo.
Embora conjeturasse que a solução seria a do problema:
Inscrever num triângulo três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo e esses círculos viessem a ficar conhecidos por círculos de Malfatti - a maior divulgação do problema foi feita por Gregonne, que ao traduzir para francês ignorou a maximização da área - a verdade é que não são estes os três círculos de área máxima que se podem inscrever num triângulo.
Para encontrar os n círculos de área máxima, inscritos num triângulo, está já provado para n≤3 que o seguinte algoritmo encontra sempre a solução óptima:
- Inscrever um círculo de área máxima no triângulo (círculo inscrito)
- Inscrever um segundo círculo na esquina que tiver menor ângulo.
- Inscrever o terceiro círculo no maior dos cinco espaços restantes.
e , este algoritmo leva-nos a configurações deste tipo (Geometriagon, 870)
Mas também pode levar, em triângulos isósceles em que o ângulo diferente é muito pequeno, à seguinte configuração
Ainda um esclarecimento da Mariana Sacchetti como prenda para Aurélio
1. Constrói-se o incírculo.
Construção do círculo inscrito no ângulo A
2. Constrói-se um círculo auxiliar tangente aos dois lados do ângulo.
Seja E o ponto de tangência a um dos lados e D o ponto de interseção com a bissetriz.
3. Seja D’ O ponto de interseção da bissetriz com o incírculo.
4.Construir o círculo homotético do círculo auxiliar, na homotetia de centro A que transforma D em D’:
a) Por D’ traça-se uma paralela a DE. Determina-se E’
b) A perpendicular ao lado AC em E’ determina na bissetriz o centro do
círculo que se pretende
Do mesmo modo se constrói o círculo inscrito no ângulo B e no ângulo C.
Os três círculos inscritos no triângulo somando uma área total máxima, são o incírculo e os dois maiores dos restantes três (um em cada ângulo), dependendo de cada triângulo.
A ideia de ter deixado um a tracejado é que, uma vez que pode mexer o triângulo, a solução não será obrigatoriamente os dois que estão a cheio. (na posição da figura que envio, os que interessam são o inscrito no ângulo A e o inscrito no ângulo C)
3 de Maio de 2020
(data assinalável)
Mariana
[M.I.H.B.S.]
