Pontos de Gergonne

CEVIANAS TRIVIAIS

São bem conhecidas da geometria básica as alturas – ortocentro, as bissectrizes – incentro, as medianas – baricentro.

A demonstração de que, cada um destes três conjunto de cevianas se intersectam num ponto, pode fazer-se provando que verificam o teorema de Ceva.

PONTO de GERGONNE
As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto do círculo inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Gergonne”.
Note-se que ponto de Gergonne é o ponto de Brianchon relativo ao hexalátero degenerado circunscrito ao círculo, formado pelos três lados a, b, c e os pontos de contacto.
É possível definir pontos de Gergonne relativamente a cada um dos três ex-incírculos (circunferências ex-inscritas).

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Propunha-se: Dado o triângulo [ABC], determinar os seus quatro pontos de Gergonne.

Teorema de CEVA

Estava o teorema de Menelau por completo esquecido, quando, cerca de mil e quinhentos anos mais tarde, o geómetra italiano Giovanni Ceva (1647-1734) o descobriu e lhe deu mais ampla aplicação, na sua obra De lineis rectis, ao estabelecer uma condição para que três cevianas de um triângulo tenham um ponto comum.
Comecemos por recordar o conceito de ceviana: trata-se de um segmento de recta que liga um vértice do triângulo a um ponto da recta a que pertence o lado oposto correspondente.



[A.A.F.]


A demonstração resulta da aplicação do teorema de Menelau a dois triângulos:
- ao triângulo [ACF] intersectado pela transversal EB
- ao triângulo [FCB] intersectado pela transversal DA
o produto membro a membro das relações obtidas conduz à expressão acima.