Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção (3)

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Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três pontos $\;A, B, C\;$ dados tenham razões $\;\displaystyle \frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{x}{z}$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três pontos $\;A$ (azul), $\;B$ (verde) e $\;C$ (castanho) e três segmentos $\;x$ (azul), $\;y$(verde) e $\;z$(castanho)
Chamámos $\;a\;$ à reta $\;BC;$. Do mesmo modo, $\;b = AC$ e $\;c = AB$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;x\;$ de $\;A\;$ é a circunferência (azul tracejado) de centro em $\;A\;$ e raio $\;x\;$ (1º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;y\;$ de $\;B\;$ é a circunferência (verde tracejada) de centro em $\;B\;$ e raio $\;y\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;z\;$ de $\;C\;$ é a circunferência de centro $\;C\;$ e raio $\;C$.

© geometrias, 1 de Março de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
Como sabemos, há sempre duas homotetias a relacionar duas circunferências, de razões com valor absoluto igual à razão dos raios e centros sobre a reta dos centros das circunferências. Por exemplo, as circunferências $\;(A, x)\;$ e $\;(B, y)\;$ são correspondentes pelas homotetias $\;{\cal H} \displaystyle \left(I_{AB}, -\frac{x}{y} \right)\;$ e $\;{\cal H} \displaystyle \left(E_{AB}, \frac{x}{y}\right)$: $\displaystyle \frac{AI_{AB}}{I_{AB}B} = \frac{x}{y} = \frac{AE_{AB}}{E_{AB}B}$
Dito de outro modo, os pontos $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ dividem, interna e externamente, o segmento $\;AB\;$ em segmentos cuja razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. À circunferência de diâmetro $\;I_{AB} E_{AB}\;$ chamamos circunferência de Apolónio para o segmento $AB$ e a razão $\; \displaystyle \frac{x}{y}$. Esta circunferência é o lugar geométrico dos pontos $X$ tais que, para os triângulos $AXB$, os pés das bissetrizes do ângulo $\;A\hat{X}B\;$ sobre $\;AB\;$ são $\;I_{AB}, E_{AB}\;$ que separam harmonicamente $\;AB\;$ e o dividem, interna e externanmente, em segmentos de razão $\;\displaystyle \frac{x}{y}\;$. Os pontos $X$ dessas circunferências de Apolónio são tais que $\; \displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{x}{y}\;$ (6º lugar geométrico da lista).
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{y}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;B, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{BC}E_{BC}\;$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{x}{z}$ das suas distâncias aos pontos $\;A, C\;$ que é a circunferência de diâmetro $\;I_{AC}E_{AC}\;$ .
5.
Os pontos $\;P, Q\;$ de interseção desses três círculos de Apolónio (de diâmetros $\;I_{AB}E_{AB}, I_{BC},E_{BC}, I_{AC}E_{AC}\;$ (recorrendo ao lg6 e lg1) estarão nas condições requeridas. $$\frac{PA}{PB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{PB}{PC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{PA}{PC}=\frac{x}{z}$$ $$\frac{QA}{QB}=\frac{x}{y}, \quad \frac{QB}{QC}=\frac{y}{z}, \quad \frac{QA}{QC}=\frac{x}{z}$$

No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q$. Valerá a pena verificar as condições de existência das soluções.

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

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Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três retas $\;a, b, c\;$ dadas tenham razões $\;\displaystyle \frac{t}{u}, \frac{u}{v}, \frac{t}{v}$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas $\;a$ (azul), $\;b$ (castanho) e $\;c$ (verde) e três segmentos $\;t$, $\;u$ e $\;v$
Chamámos $\;A\;$ ao ponto de interseção das retas $\;b\;$ e $\;c\;$ : $\;\{A\} = b.c$. E do mesmo modo, $\;\{B\} = a.c$ e $\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', a''$(azul tracejado) paralelas a $\;a\;$ e a igual distância $\;t\;$ de $\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;u\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', b''\;$ paralelas a $\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;v\;$ de $\;c\;$ é constituído pelas retas $\;c', c''\;$ paralelas a $\;c$.

© geometrias, 26 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
Cada um dos pontos de interseção $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;u\;$ de $\;b\;$. E a razão das suas distâncias a $\;a\;$ e a $\;b\;$ é $\;\displaystyle \frac{t}{u}$. Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas $\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção $\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas $\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em $\;A\;$ e de vértices $\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas $\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em $\;B\;$ e vértices $\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$.
5.
Qualquer ponto $\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando $\;d_1\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;a\;$, $d_2$ à distância de $\;X\;$ a $\;b\;$ e $\;d_3\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;c\;$, sabemos que $$ \frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q, R, S$.
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e $\;t=u=v$, estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas $\;(b, c)$, $\;(a, c)\;$ e $\;(a, b)\;$, sendo os pontos procurados o incentro $\;I\;$ e os excentros $\;I_1, I_2, I_3$.

Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos

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Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos A, B, C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial - |n=1| - encontram-se os dados do problema: A, B, C,γ.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos A, B dados, basta determinar o seu centro O. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de [AB].
2.
Que tem O a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo γ dado de vértice C?
Procuramos o centro O de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por C formam um ângulo ∠TCT'= γ, em que T, T' são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio OA=OB=OT para o qual ∠OTC é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo γ de vértice C₀ triângulos ΔCT₀O₀ e ΔCT'₀O₀ e retângulos respetivamente em T₀ e T'₀, semelhantes entre si e aos ΔCTO e ΔCT'O.
Conhecemos agora T₀O₀ / C₀O₀ = TO / CO = AO / CO=BO / CO, constante para cada γ.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
|n=3|: -O é um dos pontos para os quais é uma constante k=T₀O₀ / C₀O₀ = AO / CO , ou seja, O está sobre a circunferência de Apolónio relativa a [AC] e constante k (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro I₁ e E₁, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em A e de raio T₀O₀ na circunferência centrada em C e de raio C₀Os₀.
4.
|n=4|: - Do mesmo modo, se sabe que O é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$, isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$.
5.
|n=5|: - Os pontos O e O' de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$, são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$.
6.
|n=6|: - Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$.

Construção do 9º lugar geométrico

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

1. Na anterior entrada, transcrevemos a proposta de H. Eves para a construção deste lugar geométrico. Assim
   • Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   • Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $B$.
   • A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.
   A figura que se segue, procura ilustrar e demonstrar essa proposta de determinação, por construção geométrica, dos elementos definidores do lugar geométrico, a saber $M, K, L$.

   © geometrias, 20 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Já vimos na anterior entrada que o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $PA^2+PB^2=k^2$ é a circunferência de centro em $M$, ponto médio de $AB$ que pode ser definida pela equação em $P$: $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$ que se pode escrever $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - BM^2$, por ser $AB=2BM$, ou ainda $\displaystyle PM^2+ MB^2 = \frac{k^2}{2}$
3. Assim, o raio $PM$ da circunferência dos pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2 =k^2$ pode ser obtido como um cateto de triângulo retângulo em $M$ de que o outro cateto é $BM$ e a hipotenusa é $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$
4. Ora $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$ é quanto mede o lado do quadrado de diagonal $k = BE$ raio da circunferência de centro em $B$, sendo $E$ um dos pontos de interseção da circunferência de raio $K$ com o segundo lado do ângulo de 45º em $A$. Um ponto $P$ do lugar geométrico obtém-se sobre a perpendicular a $AB$ tirada por $M$, extremo do lado $BP$ do quadrado de diagonal $k=BE$.
   $$MK=ML=PM : PM^2 + BM^2= \left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2$$
5. $PM\parallel GDK \parallel EFL$ :
   Projetam-se ortogonalmente sobre $AB$, da corda D$E$ da circunferência $(B, k) $, $D$ em $K$, $E$ em $L$ e o ponto médio de $DE$ em $M$ ponto médo de $AB$. Do mesmo modo, por simetria, para a corda $FG$ da circunferência $(A,k)$.

O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Temos como dados um comprimento $k$, e dois pontos $A$ e $B$. Para determinar algum ponto $P$ tal que $PA^2+PB^2=k^2$, começamos por construir um triângulo retângulo em $P_O$ de hipotenusa $k=A_0B_0$. Com centro em $A$ e raio $A_0P_0$ desenhamos uma circunferência e com centro $B$ e raio $B_0P_0$ outra. Um ponto $P$ de interseção destas duas circunferências, caso exista, verifica a condição $PA^2+PB^2=k^2$ de definição do 9º lugar geométrico
2. o botão de animação ligado a $P_0$ variável dá uma sugestão sobre qual será o conjunto dos pontos que procuramos - pelos traços de $P$ e $Q$.

   © geometrias, 14 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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   Deslocando manualmente $P_0$ ou clicando no botão de animação, obtemos um grande conjunto de pontos $P$ do 9º lugar geométrico, e a sugestão de que todos eles estarão sobre uma circunferência de diâmetro sobre a reta $AB$.
   Para voltar ao desenho original clique no botão da direita ao cimo da janela.
3. Que a nossa conjetura feita a partir da observação é correta pode ver-se assim:
   • Para qualquer triângulo $PAB$, sabemos que $2\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, temos $ 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + 2\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}$.
     Ora, como $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, calculando o quadrado escalar de $\overrightarrow{AB}$, temos
     $\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}$ ou $ 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2$
     E, assim, temos $\;\; 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 +\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2\;\;$ ou $\quad \quad{ \displaystyle PA^2+PB^2=2.PM^2+ \frac{AB^2}{2}}$
   • No caso de $P$ verificar a condição $PA^2+PB^2 = k^2$, $$k^2= 2. PM^2+\frac{AB^2}{2} \;\;\; \mbox{ou} \;\;\; PM^2 = \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$$
     Vimos assim que para os dados $k, A, B$, os pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2=k^2$, quando existem, estão sobre a circunferência   "$ PM^2 = \displaystyle \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4} $" , de centro $M$ e raio $ \displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}}$.
4. Seja $P$ um ponto qualquer do círculo de centro "$M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, para $A, B, k$ dados.
   • Se $P, A, B$ não são colineares, $PAB$ é um triângulo e como vimos antes, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, então $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2.PM^2 + \frac{AB^2}{2}$ e, sendo $P$ um ponto da circunferência considerada acima, o raio $PM$ é tal que $\displaystyle PM^2 = \frac{K^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$, de onde se pode concluir que $$PA^2+PB^2 = 2. \left(\frac{k^2}{2} -\frac{AB^2}{4}\right) + \frac{AB^2}{2}= k^2$$ Ou seja $P$ é um ponto do lugar geométrico.
   • Se $P$ é um dos pontos em que a reta $AB$ encontra a circunferência de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, como $$\overrightarrow{PA^2}+ \overrightarrow{PB^2}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})^2 + (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MA}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MB}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MB} $$ $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}, AM=BM, 2.AM=AB, 2.AM^2=AB^2$,
     $PA^2 + PB^2 = 2.PM^2+ 2.AB^2 = 2(\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4})+2.AB^2=k^2.$
     Ou seja, os pontos $P$ da circunferência de centro e raio referidos, colineares com $A$ e $B$, satisfazem a condição do lugar geométrico.
5. Só nos falta ver as condições de existência do lugar geométrico em si.
   Para $A \neq B$ a circunferência de que temos vindo a falar existe só e só quando $$\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \geq 0, \mbox{isto é, quando} \frac{k^2}{2} \geq \frac{AB^2}{4} $$
   • Para $\displaystyle k^2 = \frac{AB^2}{2}\;\; \mbox{ou seja, para}\;\; k= AB. \frac{\sqrt{2}}{2}$, a circunferência reduz-se ao seu centro $M$, ponto médio de $AB$:
     $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2}}{2}. {AB} \Leftrightarrow k^2= \frac{AB^2} {2} \Leftrightarrow \frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4} = 0 \Leftrightarrow PM^2 =0 \Leftrightarrow P=M $
   • Se $\displaystyle k^2 < \frac{AB^2}{2}$ não existe qualquer ponto $P$: $PA^2+PB^2 = k^2$, já que $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}$ e $\displaystyle 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}\geq \frac{AB^2}{2}$.
6. Para os valores de $k$: $\displaystyle k^2 >\frac{AB^2}{2}$, os pontos $P$ para os quais é constante $k^2$ a soma dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A$ e $B$ dados, é a circunferência de centro no ponto médio $M$ de $AB$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$
7. Para a construção deste lugar geométrico, H. Eves propõe os seguintes passos:
   1. Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   2. Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $A$.
   3. A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.