Teorema de Armin Saam (primeira parte e respetiva ilustração)

Richter-Gebert chama a atenção para a beleza e interesse de um Teorema atribuído a Armin Saam que aqui apresentamos em duas ilustrações dinâmicas. Trata-se de invariâncias para um esquema cíclico de perspetividades... Na nossa construção tomamos 5 retas {r_i, i=1,2,3,4,5} inicidindo todas no ponto O e sobre cada r_i (a negro) marcamos um ponto P_i (em castanho) que utilizaremos como centro de perspetividade.
A figura é bem elucidativa do que fizemos:
Começamos por tomar A₁ (verde) sobre r₁. Para obter A₂ sobre r₂ como imagem de A₁ pela perspetividade de centro P₄: {A₂}= A₁P₄.r₂. E, sucessivamente, {A₃}=A₂P₅.r₃, {A₄}=A₃P₁.r₄, {A₅}=A₄P₂.r₅ até {A₆}=A₅P₃.r₁.
O mais natural é que A₁ não coincida com A₆. Quando A₁ se desloca sobre r₁ aproximando-se de O, A₂ afasta-se de O, A₃ aproxima-se de O, etc. Alternativamente, os pontos A_i, de ordem par ou ímpar, aproximam-se ou afastam-se de O.
Em particular, A₆ move-se sobre r₁ no sentido contrário ao movimento de A₁ e é, portanto, de esperar que haja uma posição C em que A₁ e A₆ coincidem.
Essa posição C pode ser determinada como conjugado harmónico de O relativamente a A₁ e A₆, ou seja (A₁, A₆; C, O) é um quaterno harmónico, que se mantém invariante quando A₁ se desloca sobre A₁. Isso está ilustrado na figura.
Nesta configuração de um número ímpar n de retas passando por um porto comum O, considerando o transformado A_n+1 de A₁ pela composição cíclica de perspetividades (esquema da figura), acontece que
A_n+1=A₁ numa posição C quando e só quando (A₁,A_n+1; C, O)=-1,
como pode verificar quando desloca A₁ sobre r₁.

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Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011

Transporte da razão dupla (esquema cíclico)

Como já tínhamos antecipado na entrada anterior, vamos agora transportar razões duplas seguindo uma esquema cíclico. A construção que segue serve de exemplo.
Tomámos n retas (n=6, no caso) - {r_i, i = 1, 2, ..., n} - todas incidentes num ponto D. Na primeira reta, r₁, tomamos 3 pontos A, B, C quaisquer, que são transferidos por uma composta de perspetividades para a última das retas, r₁ no caso. Claro que estas perspetividades deixam invariante o ponto D incidente em todas as retas r_i
Nestas condições, os correspondentes pontos A', B' C' em r₆ serão tais que (A', B'; C', D') = (A, B; C, D), já que a razão dupla é preservada por perspetividade.
Tome-se agora o ponto AA'.BB', chamemos-lhe P. Há uma perspetividade de centro P que transforma A em A', B em B' e D em D e transforma também C em C' precisamente porque (A', B'; C', D') = (A, B; C, D). E isso quer dizer que CC' passa por AA'.BB'
Claro que esta construção serve de modelo para provar um teorema para qualquer n, natural.
Pode mover-se A, B ou C e verificar que o ponto P (AA'.BB'.CC') se mantém invariante. Claro que se mudarmos a posição de alguma retas ou algum centro de alguma das perspetividades do esquema, a perspetividade que leva de pontos de r para pontos de r' será outra e também será outro o seu centro.

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Resultado inteiramente análogo pode ser observado para n=5, como ilustra a construção ao lado.
Movendo A,B, C poderá verificar o resultado: a perspetividade de centro AA'.BB' que tansforma os pontos A, B e D da reta r nos pontos A', B', D da reta r' também transforma C em C'.

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Transporte de razões duplas por perspetividade.

Retomamos o papel fundamental das perspetividades - projeções centrais de pontos de uma reta em outra reta - e das razões duplas (cruzadas). Para lembrar que há uma infinidade de classes de teoremas baseados essencialmente numa aplicação iterada do facto bem conhecido e já abordado nestas notas de estudo: a razão dupla é preservada pela perspetividade.
Na construção que se segue, temos a configuração verde à esquerda que força 4 pontos de r - A, B, C, D - a uma posição harmónica. Dizemos que {A, B; C, D} é uma secção dos lados de um quadrilátero completo por r que passa por dois dos seus pontos diagonais a que chamamos quaterno harmónico sendo igual a -1 a razão dupla correspondente (A,B;C,D). Fixados A, B como pontos diagonais (interseções de lados opostos) de um quadrilátero qualquer e C como o ponto de uma das diagonais (retas passando por vértices opostos) sobre AB=r, D resulta como ponto da outra diagonal sobre r, independente do quadrilátero tomado. Pode verificar isso, movendo o ponto verde da configuração.
Uma cadeia de perspetividades transporta a razão dupla (no caso, harmónica) -1 destes pontos para a razão dupla dos pontos correspondentes em outras retas. Na construção apresentada, fechamos a cadeia com uma configuração vermelha que nos permite verificar que os quatro pontos finais A', B' C' D' também estão em posição harmónica. Pode mover o ponto verde da configuração vermelha e ver que D' se mantém para qualquer dos quadriláteros para os quais A' e B' são pontos diagonais e C' é ponto de uma diagonal.

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Nas próximas entradas vamos abordar o transporte de razões duplas com recurso a estruturas cíclicas.

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Homologia que transforma um quadrilátero num quadrado

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num quadrado A'B'C'D' já está apontada nas entradas anteriores (já que o quadrado é paralelogramo, retângulo e com as diagonais perpendiculares). Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um quadrado é preciso que

1. OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂),
2. OL₃ e OL₄ sejam perpendiculares (o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₃L₄)

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Centro e reta limite da homologia que transforma um quadrilátero num retângulo

A homologia plana que transforma um quadrilátero ABCD (de que os lados opostos se intersetam em pontos próprios) num retângulo A'B'C'D' é em tudo semelhante às anteriores construções. Como queremos que A'B'C'D' seja um paralelogramo ou que A'B'.C'D' e A'D'.B'C' sejam pontos impróprios, a reta limite da homologia terá de passar pelos correspondentes pontos próprios AB.CD (L₁) e AD.BC (L₂), dando OL₁
a direção comum de A'B' e de C'D' e OL₂ a direção comum de A'D' e de B'C'.
Para A'B'C'D' ser um retângulo é preciso que OL₁ e OL₂ sejam perpendiculares, o que é satisfeito sse O for um ponto da circunferência de diâmetro L₁L₂

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Todas as construções que temos estado a fazer ilustram transformações de quadriláteros noutros mas em que um deles é tal que quaisquer pares dos seus lados se intersetam em pontos próprios.