Afinidade: propriedades.

A construção seguinte servirá como ilustração de algumas propriedades da afinidade homológica.

1. Em duas figuras afins, a todo o ponto impróprio de uma delas corresponde outro ponto impróprio na outra.
   Chamemos 1_∞ ao ponto impróprio da reta AB corresponde um ponto 1' de A'B' na figura.
   A reta que passa por estes pontos 1_∞1' terá a direção da afinidade, isto é, terá de passar por O_∞.
   1_∞O_∞ será a reta imprópria do plano e a sua interseção com A'B' será 1'. Fica assim demonstrado que 1' é um ponto da reta impróprio de A'B', ou seja, é o ponto impróprio da reta A'B'.
2. É assim óbvio que se duas retas AB e CD são paralelas (no caso, passam por 1_∞) as suas homólogas por uma afinidade A'B' e C'D' também são paralelas (no caso, passam por 1').
   Dito de outro modo, a afinidade preserva o paralelismo (qualquer afinidade transforma retas paralelas em retas paralelas) e, por isso, a figura afim de um paralelogramo é outro paralelogramo.
   Por afinidade, um trapézio é transformado noutro trapézio, como é óbvio.




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Pode deslocar pontos da figura, o eixo e a direção da afinidade. Podia e agora não pode.

3. Uma afinidade transforma a reta imprópria do plano em si mesma. Dito de outro modo, a reta imprópria é dupla para qualquer afinidade que é o mesmo que dizer que para a afinidade plana não há retas limite.
4. Como consequência, se sabe que uma figura plana com n pontos impróprios é transformada noutra com n pontos impróprios. Uma elipse (sem pontos impróprios) é afim de uma elipse, uma parábola é afim de uma parábola, uma hipérbole é afim de uma hipérbole.
5. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade
6. Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim.

Afinidade homológica: definições

Debruçamo-nos a partir de agora sobre a homologia afim ou afinidade homológica.

1. Um eixo e, um centro O_∞ e dois pares de pontos homólogos é o bastante para definir a transformação.
   De fato, dados e, O_∞ (uma direção, direção da afinidade) e (A, A') e (B, B') tais que A'A e BB' têm a direção da afinidade ou passam por O_∞ (são paralelas).
   Um ponto P, qualquer, do plano terá por homólogo (afim) um outro ponto P' assim determinado:
   P' é um ponto de uma reta paralela a AA' tirada por P (PP' passa por O_∞);
   e sobre uma reta que passe por e.PA e por A' (ou que passe por e.PB e B')
   Ilustar-se a seguir o que seja definir uma afinidade, usando eixo, direção afim e dois pares de pontos homólogos, determinando o homólogo de um ponto qualquer usando só esses elementos definidores.
   
   
   
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   Pode tomar várias homologias deslocando o eixo ou O_∞ e pode deslocar P sobre o plano. Verifique em que condições BP e B'P' são paralelos, P coincide com o seu homólogo, que se P∈AB então P'∈A'B', etc
   Como pode ver, ao dar dois pares de pontos homólogos estamos a dar um par de retas paralelas e, por isso, basta dar dois pares de pontos homólogos e o eixo para definir uma afinidade .
2. A afinidade fica também bem definida se dermos três pares de pontos homólogos (A, A'), (B, B') e (C, C') (i.e., sendo AA', BB' e CC' paralelas (a concorrer em O_∞) e AB.A'B', AC.A'C' e BC.B'C' colineares (a incidir em e)). Claro que podemos dar um ponto duplo, por exemplo, (A, A), (B, B'), (C, C') definem a afinidade se A'=A enquanto B≠B' e C≠C'.

Casos particulares de homologia

Nas notas de estudo que temos vindo a adoptar, para quaisquer duas retas do plano há sempre um único ponto em que ambas incidem. Esse ponto pode ser próprio ou impróprio e, quando o ponto comum a duas retas do plano é impróprio, dizemos que as retas são paralelas. Ao conjunto de pontos impróprios do plano, chamamos reta imprópria do plano.
Designamos pontos por A, B, C, ...e retas por a, b, c,... ou por AB a reta que incide em A e B, ... E por A_∞ designamos o ponto impróprio de a, que também designámos e designaremos, ainda que mais raramente, por ∞_a.
Sejam duas retas r e s e os seus pontos impróprios R_∞ e S_∞. Dizemos que estas retas r e s são paralelas quando r.s={R_∞}= {S_∞}. Quando isso acontece também dizemos que essas retas têm a mesma direção ou, dito de outro modo, dar um ponto impróprio é dar uma direção.
Uma homologia no plano é determinada por um feixe duplo de retas a passar por um ponto duplo O (centro da homologia) e por uma pontual de pontos duplos sobre uma reta (eixo da homologia). Dizemos que qualquer conjunto de pontos do plano (ou figura do plano) é duplo para uma homologia quando é homológico de si mesma, isto é, quando cada um dos seus pontos é transformado em si mesmo ou noutro dos seus pontos.

Uma homologia (de centro O e eixo e) ficou assim definida: ∀ (A, B) ∃ (A', B') : A'∈OA, B'∈OB e AB.A'B'∈e
Merecem menção especial os seguintes casos particulares de homologias do plano no plano:

1. a homologia em que o centro do feixe duplo é um ponto impróprio toma o nome de afinidade (homologia afim, afinidade homológica) e, destas, os casos particulares das reflexões relativamente ao eixo;
2. a homologia de centro próprio O e eixo impróprio que é uma homotetia e, destas, a reflexão relativa ao seu centro;
3. a homologia de centro e eixo impróprios que (sendo uma afinidade de eixo impóprio) é conhecida como translação.

Circunferência e hipérbole: centro, eixos e vértices da hipérbole

Na construção desta entrada, temos uma homologia definida pelo centro O, eixo e e reta limite l e uma circunferência cortada pela reta limite em dois pontos L₁ e L₂. Como já vimos antes a curva homológica desta circunferência é uma hipérbole precisamente por que dois dos seus pontos, L₁ e L₂, têm por homólogos dois pontos da reta do infinito (homóloga da reta limite). Tomadas as tangentes à circunferência em L₁ e L₂ (que passam pelo polo C de l), as suas homólogas são paralelas a OL₁ e OL₂ tiradas pelos pontos e.CL₁ e e.CL₂ que são tangentes em pontos do infinito (assíntotas) da hipérbole.
O homólogo de C, C', está no ponto de encontro das duas assíntotas, simétricas relativamente às bissetrizes do ângulo por elas formado. As bissetrizes são eixos de simetria da hipérbole homológica da circunferência. Os vértices A' e B' da hipérbole estarão numa das bissetrizes e serão homológos de pontos da circunferência A e B sobre a reta que passa por C e pelo ponto onde a bissetriz encontra o eixo da homologia. A' será a interseção de OA com a bissetriz. B' pode ser obtido do mesmo modo ou como simétrico de A' relativamente a C' ou à segunda bissetriz.
Qualquer ponto P' da hipérbole pode ser obtido sobre uma reta secante que passe por C' e sobre OP sendo P um ponto da circunferência sobre a reta que passa por C e pelo ponto de interseção da secante por C'. Os simétricos de P' relativamente a qualquer dos eixos são outros pontos da hipérbole.
Fica ainda ilustrado o facto da tangente à circunferência em A ser transformada na tangente à hipérbole em A' (perpendicular à bissetriz que é o eixo de simetria transverso).

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Circunferência homológica de uma parábola: vértice e eixo de simetria

Como já vimos, sempre que tomamos uma circunferência tangente à reta limite de uma dada homologia, a cónica homológica da circunferência tem um ponto no infinito (homólogo do único ponto limite da circunferência) e é, por isso, uma parábola.
Na construção desta entrada tivemos o cuidado de tomar um ponto V da circunferência na perpendicular a OI tirada por I. Deste modo, temos um ponto V que tem por homólogo um ponto V', dado pela interseção da paralela a OI tirada por IV.e com OV. Tomámos L₁ da reta limite tal que OL₁ é perpendicular a OI e V' também pode ser obtido como a interseção de OV com a reta paralela a OL₁ tirada por e.VL₁. Estas duas retas que passam por V' são perpendiculares: aquela que é paralela a OI é um eixo de simetria da parábola; a que é paralela a OL₁ é a tangente em V' (vértice da parábola).
De resto ainda determinámos a polar de O, ST, pela polaridade induzida pela circunferência e determinámos os homólogos de S e T, para além dos homólogos dos dois pontos da circunferência A e B sobre uma secante tirada por L₁ que são obviamente simétricos relativamente ao eixo de simetria da parábola.

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