Homologia definida por centro, eixo, reta limite. Homológica de uma cónica tangente a 5 retas.

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Ainda usando a construção da penúltima entrada em que se construía o homológico de um pentágono por uma homologia de que se conheciam os centro, eixo e reta limite.
Nesta entrada e na construção associada, tomamos as retas r, s, t, u, v que contêm os lados do pentágono agora como tangentes à cónica, de que ficam assinalados os respetivos pontos de tangência R, S, T, U, V.
Como sabemos esse conjunto de retas constitui um feixe de segunda ordem e a cónica associada é a envolvente das retas do feixe. Considerando os pontos de interseção das retas s, t, v com a reta tangente r (r.s, r.t, r.v) e com a reta tangente u (u.s, u.t, u.v), temos duas pontuais retilíneas (bases r e u, no caso) projetivas não perspetivas. As retas que passam pelos pontos correspondentes por esta projetividade determinam o feixe de segunda ordem (r, s, t, u, v) que define a cónica.

Pode experimentar deslocar a reta limite e ver o que acontece quando esta interseta e não interseta a cónica
A homologia do plano no plano transforma o feixe de 2º ordem r, s, t, u, v no feixe de 2ª ordem r', s', t', u', v', isto é, transforma a cónica definida por 5 retas tangentes a ela, na cónica definida pelas retas homólogas.
A natureza da cónica homológica de uma outra só depende das posições relativas desta e da reta limite associada à homologia.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia definida por centro, eixo e reta limite. Homológica de uma pontual cónica

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A construção desta entrada segue a construção do homológico de um pentágono da entrada anterior. Trata-se agora de olhar para os pontos A, B, C, D, E, H, K como uma pontual de 2º ordem (elipse), interseções dos retas correspondentes dos feixes A(BCDEHK) e B(ACDEHK) projetivos e não perspetivos. A homológica desta pontual cónica A, B, C, D, E, H, K será a pontual cónica A', B', C', D', E', H'_∞, K'_∞ em que cada ponto pode ser obtido como interseção de retas correspondentes dos feixes A'(B'C'D'E'H'_∞ K'_∞) e B'(A'C'D'E'H'_∞ K'_∞) projetivos e não perspetivos. Lembramos que à reta AH do primeiro feixe de 2º ordem corresponde a reta A'H'_∞ que é a reta paralela a OH tirada pelo ponto e.AH...

A homologia (que é uma homografia) do plano no plano a uma pontual de qualquer ordem faz corresponder uma pontual da mesma ordem: a uma pontual retilínea faz corresponder outra pontual retilínea, a uma pontual cónica faz corresponder uma pontual cónica. Nesta construção, fica claro que a uma cónica corresponde outra cónica, ainda que de natureza diferente (ou aparentemente diferente) conforme as posições relativas da cónica com a reta limite. No caso da nossa construção, como a elipse (sem pontos impróprios) é cortada pela reta limite em dois pontos, a sua homológica é uma hipérbole (tem dois pontos impróprios).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
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Homologia definida por centro, eixo e reta limite: homológico de um pentágono cortado pela reta limite

Seja uma homologia (homografia do plano no plano) definida por centro, eixo e reta limite e seja um pentágono ABCDE de tal modo que a reta limite l corta dois dos seus lados, no caso, AE.l={I} e CD.l={J}
Pretende-se determinar o pentágono A'B'C'D'E' homológico de ABCDE.
Sabemos que dois pontos homólogos são colineares com o centro O e que as retas que contém dois lados homólogos se encontram num ponto do eixo e. Mas sabemos também que o homólogo de um ponto limite (de l) e de um lado (AE, por exemplo) é o ponto no infinito da reta (A'E') homóloga da reta que o contém, que é o mesmo que dizer que a reta A'E' é paralela a AE tirada por M=AE.e; do mesmo modo, C'D' é a paralela a OJ tirada por N=CD.e
Determinadas, desse modo, as retas A'E' e C'D', obtemos A' e E' como interseções da paralela a OI tirada por M com OA e com OE, C' e D' nas interseções da paralela a OJ tirada por N com OC e com OD. Para determinar B', toma-se {Q}=e.AB e {B'}=QA.OB; {C'}=RB'.OC em que {R}= e.BC; {D'}=NC'.OD em que {N}=e.CD
E à semelhança do que fizemos na entrada anterior, os lados da figura homológica de ABCDE são:
A'I'_∞E', homólogo de AIE
C'J'_∞D', homólogo de CJD
A'B' homólogo de AB, B'C' homólogo de BC e D'E' homólogo de DE.

Esta construção da figura homológica de um pentágono é importante para percebermos bem o que se passa com as cónicas (bem determinadas por 5 dos seus pontos, qualquer delas) quando têm ou não têm pontos impróprios. Se, para uma dada homologia, um pentágono tem pontos limite em alguns dos seus lados, o seu homológico tem pontos impróprios nos lados homólogos desses.

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Homologia por centro, eixo e reta limite: homológico de um triângulo cortado pela reta limite

Na construção que se apresenta a seguir, temos uma homologia de que conhecemos centro, eixo e reta limite. E, para essa homologia, determinámos o homológico de um triângulo ABC em posição tal que tem a reta limite corta dois dos seus lados AB e BC (como se vê quando se abre a construção).
Pelo procedimento habitual: as retas homólogas AB e A'B' encontram-se num ponto do eixo e, M. Para além de M, para termos a reta A'B', basta considerar a imagem de um dos seus pontos, I, que, por ser ponto limite de AB, tem por imagem o ponto do infinito de A'B', I'_∞=OI.A'B'. Assim A'B' é a reta MI'_∞, paralela a OI tirada por M. Claro que A' é OA.MI'_∞ e B' é OB.MI'_∞
Do mesmo modo, B'C' é a paralela a OJ tiradda por BC.e, K, B'C' é a reta KJ'_∞. E C' é OC.KJ'_∞
Como I é ponto da reta limite l e do lado AB, (o segmento) A'B' terá de conter o ponto do infinito, designamo-lo por I'_∞ isto é, o homólogo do lado AB é A'I'_∞B'. E, do mesmo modo, o homólogo do lado BC será B'J'_∞C'.
Esperamos que a construção apresentada seja uma boa ilustração.

Com alguns cuidados, poderá fazer variar o triângulo e mesmo a homologia (deslocando O, e e J). A figura dinâmica dará boa informação para algumas posições relativas. Foi feita para mostrar o que acontece para o caso de a reta limite cortar os lados AB e BC do triângulo.

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Homologia definida por centro, eixo e reta limite: quadriláteros homológicos (caso 1)

Retomamos homologias definidas pelo centro O, eixo e e reta limite l. Vamos determinar o quadrilátero homológico de um quadrilátero ABCD dado, por uma homologia definida por O, e, l.
Dados O, e, l e os quatro pontos A, B, C, D vamos determinar A', B' C', D' : O, A e A' são colineares; O, B e B' são colineares, etc e AB.A'B' é um ponto de e.... Consideremos os pontos I e K de interseção da reta definida por A e D com a reta limite e com o eixo: AD.l = {I} e AD.e= {K}. Como I é um ponto da reta limite é o ponto limite da reta AD: OI interseta A'D' no seu ponto impróprio e como K é o ponto da reta AD no eixo, A'D' terá de passar por K. Ou seja, a reta A'D' é a paralela a OI tirada por K.
Do mesmo modo, BC.e = {M} e BC.l = {J}, B'C' será a paralela a OJ tirada por M.
Assim ficam determinados: A' e D' como interseções de OA e OD com a paralela a OI tirada por K; B' C' como interseções de OB e OC com a paralela a OJ tirada por M. Confirmámos DC.D'C' ={N} em e, DB.D'B'= {P} de e, AB.A'B'= {L} também no eixo da homologia.

No caso da homologia que se vê ao abrir, a reta limite l não interseta os lados do quadrilátero ABCD e, por isso, o seu homológico não tem pontos impróprios A'B'C'D'.
Na próxima entrada, veremos o caso de polígono em que a reta limite interseta lados do polígono para ver o que acontece com o homológico.

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