Homologia definida por centro, eixo e reta limite

Uma homologia do plano transforma pontos em pontos, pontuais em pontuais, feixes em feixes do plano. Para cada homologia, uma pontual de pontos da reta imprópria do plano tem como imagem uma pontual - reta limite l'- que contém o ponto impróprio do eixo e uma pontual de pontos da reta imprópria é imagem de uma pontual - reta limite l - que também contém o ponto impróprio do eixo.
Também já vimos antes que uma homologia do plano fica determinada por:

1. o centro, o eixo e um par de pontos (retas) homólogos , não incidentes no centro nem no eixo.
2. dois pares de pontos (retas) homólogos e um ponto (reta) duplo (homólogo/a de si mesmo).
3. três pares de pontos (retas) homólogos.

Claro que dar uma reta limite equivale a dar um par de retas homólogas: a própria reta limite e a reta imprópria do plano
Nas últimas construções, definimos as homologias dando centro, eixo e um par de pontos homólogos.
Nesta entrada, vamos verificar que uma homologia fica determinada pelo centro O, o eixo e e a reta limite l.

Pode mover O, e, l para ver o que acontece com várias homologias
e também r, para além de A sobre r.

Dado um ponto A, como determinamos A'? Ou dada uma reta r como determinamos r' na homologia de que conhecemos o centro O, o eixo e e a reta limite l?
Por qualquer ponto A, podemos tirar uma reta r que intersete o eixo e (em M) e a reta limite l (em I). I é um ponto limite, original do ponto impróprio de r', R'_∞, por ser, ao mesmo tempo de l e de r. Isso quer dizer que a reta OI do feixe centrado em O interseta r' no seu ponto impróprio (OI//r'). Sabemos além disso que duas retas homólogas se intersetam num ponto do eixo, no caso M: Fica determinada r', paralela a OI tirada por M=r.e

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E, concluindo, obtém-se A'=OA.r'
Na nossa construção também procurámos a reta limite imagem da reta imprópria do plano: Tirámos por O uma paralela a r (que interseta r no seu ponto impróprio R_∞. O ponto onde essa reta interseta r' está a imagem J' do ponto do infinito de r.
A reta limite, imagem da reta imprópria do plano, passa por J' e também pelo ponto impróprio do eixo.
Verificará que O, e, ocupam certas posições relativas com l, l': ou estão ambos entre l e l' ou ambas fora da faixa de fronteiras l e l'

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Homologia plana (memória)

De uma homologia damos o centro O e o eixo e, uma reta r e a sua homóloga r'. No caso da nossa construção tomámos duas retas concorrentes em A e, de acordo com o processo de definição da homologia de centro O, se considerarmos A da pontual de base r, o seu homólogo A'=OA.r' na reta r' só pode ser A'=A (já que a reta tirada por O que passa por A também passa por A' e OA.r=OA'.r'=r.r), o que quer dizer que é um ponto duplo da homologia que sendo diferente de O é um ponto do eixo da homologia. De outro modo: Um ponto B de r tem como correspondente o ponto B'=OB.r' de r' e um ponto C' de r' tem como homólogo o ponto C=OC'.r de r e as duas retas BC.B'C'=r.r'=A, AB.A'B'=A. Se não dermos o eixo, teremos de dar mais um ponto (não incidente em r) e o seu correspondente, para definirmos o eixo da homologia.
Vamos determinar pontos limite e retas limite da homologia. Para exemplo, determinamos a imagem R' do ponto no infinito de r, R_∞: Tiremos por O a reta OR_∞ (paralela a r tirada por O). A imagem de R_∞ é o ponto R'=OR_∞.r', ponto limite.
Quando falamos de reta imprópria do plano estamos a falar da reta que contém todos os pontos no infinito do plano, também o ponto E_∞ impróprio do eixo e. Por isso a imagem pela homologia da reta imprópria do plano é R'E_∞ (paralela a e tirada por R'). Temos assim a reta limite imagem da reta no infinito do plano.
A reta limite que tem como imagem a reta no infinito do plano determina-se de forma análoga: O original do ponto no infinito de r', R'_∞, é O R'_∞.r=R e a reta limite que tem como imagem a reta imprópria do plano é RE_∞. As retas limite (original e imagem) intersetam-se no ponto impróprio de e (também ele ponto da reta imprópria do plano).

Pode movimentar pontos e retas (mudando de homologia, claro)

Experimente deslocar O e veja o que acontece quando ele incidir sobre r ou sobre r' ou sobre o eixo e. E se O coincidir com A?

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
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Homologia plana (memória)

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Temos vindo a trabalhar com transformações projetivas que relacionam pontuais diferentes (sobre a mesma reta ou não) e feixes distintos (a passar pelo mesmo ponto ou não).
Debruçarmo-nos-emos agora sobre uma transformação projetiva que transforme cada ponto (pontual,feixe) do plano num ponto (pontual, feixe) sobre o mesmo plano: trata-se da homologia (já várias vezes referida) que é uma homografia. Para definir a lei de transformação, bastar-nos-á tomar três pontos A, B, C não colineares e seus correspondentes A', B' e C' de tal modo que AA', BB' e CC' passem por um mesmo ponto O (centro da homologia). Como sabemos, do teorema de Desargues, esta condição de AA', BB' e CC' serem concorrentes num ponto é equivalente a que os pares de retas AB e A'B', AC e A'C', BC e B'C' se intersetem em pontos de uma mesma reta e (eixo da hamologia).
Tomados os pares de pontos correspondentes (A,A') e (B,B'), fica determinado um ponto AA'.BB'={O} e para um terceiro ponto C podemos tomar qualquer ponto C' como correspondente de C, desde que C' incida em CO.
Sendo AB.A'B'={L}, AC.A'C'={K}, LK=e (eixo da homologia), verifica-se que o ponto BC.B'C', J, é um ponto de e.
Vemos que fixados (A,A') (B,B') e (C,C') a respeitar a condição AA'.BB'.CC'={O} (ou a equivalente: AB.A'B', AC.A'C', BC.B'C' a incidir numa mesma reta e), fica determinado o processo para determinar o homólogo (único) de qualquer ponto X do plano: Toma-se, por exemplo, XB.e={I}, IB'.OX={X'} que é equivalente a (XA.e)A'.OX={X'}.....
A construção ilustra essa definição e os procedimentos adotados para determinar o ponto correspondente de qualquer ponto do plano. O mesmo para a pontual correspondente de qualquer pontual. Considere para exemplo a pontual de base c=AB. Um ponto P de s tem correspondente P', assim obtido: (PA.e)A'.OP que é um ponto de A'L ou seja de A'B'=c'.

Chama-se ainda a atenção para o seguinte:

1. A imagem, pela homologia, de um ponto P qualquer de e, é P: (PA.e)A'.OP={P}. Cada um dos pontos da pontual de base no eixo de homologia é imagem de si mesmo pela homologia, isto é, é um ponto duplo no sentido P=P' para a homologia.
2. A imagem do feixe de centro O é o próprio feixe. Um ponto qualquer de um reta que passe por O é um ponto dela mesma (X e X': O∈X). Cada uma das retas do feixe é transformada nela mesma, em que O e a sua intersecção com e são dois pontos duplos
3. Podemos dizer que uma homologia plana é uma transformação projetiva do plano em si mesmo tendo como elementos duplos uma pontual (sobre e) e um feixe (por O)
4. A homologia especial em que o centro O é um ponto do eixo e também toma o nome de elação.
5. O centro O da homologia pode ser um ponto impróprio (AA', BB', CC' são paralelas ou encontram-se num ponto comum que é um ponto no infinito)
6. O eixo e da homologia pode ser uma reta imprópria (Os pares de retas que passam por pontos homólogos são paralelas: AB//A'B', BC//B'C', AC//A'C', …)



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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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Feixe de segunda ordem (circular)

Atente na figura dinâmica imediatamente abaixo.
Por X, variável sobre a tangente à circunferência em P, passam duas tangentes XP e XT. Por isso, OT=OP e XP=XT e, em consequência, os ângulos POX=XOT. Por X'=XT.QQ', passam duas tangentes à circunferência X'T e X'Q' e são congruentes ângulos Q'OX' e X'OT. Ou, ainda pela mesma razão, QOP=P'OQ'. XOT=(POT)/2 e X'OT=(Q'OT)/2 XOT+X'OT=(POQ')/2=POQ, constante para cada par (P,Q), e, finalmente, XOT+X'OT=XOX'= POQ.

[Pode mover T, P ou Q']? podia.
Quer dizer que, para qualquer tangente por T, variável sobre a circunferência, os pontos de intersecção dela com a tangente em P e com a tangente em Q', X e X', são tais que o ângulo XOX' é constante ou é independente de T. Isto é o mesmo que dizer que as retas do feixe, centrado em O, das retas OX' e OX estão relacionadas por uma rotação de centro O e ângulo de amplitude igual à de POQ. Os feixes assim construídos, x=OX e x'=OX', são congruentes e, portanto, projetivos. O ângulo formado por quaisquer duas retas do feixe x é transformado por rotação de centro O e amplitude POQ num ângulo de duas retas do feixe x', logo igual. As razões duplas de 4 retas do feixe x e das correspondentes do feixes x' são, por isso, iguais. E assim acontecerá para as razões duplas dos pontos correspondentes nas secções por PQ e Q'P'. Pode deslocar T sobre a circunferência e verá assim que, pela projetividade entre as pontuais X e X', quando X=P é X'=P' e que, quando X'=Q' é X=Q. Para além de significar que os pontos P, Q, P', Q' fazem parte das pontuais projetivas, também significa que PQ e P'Q' são posições possíveis das retas XX'.
As pontuais de pontos X sobre PQ e X' sobre Q'P' são secções por PQ e Q'P' dos feixes x e x' centradas em O que são projetivos. E as retas XX' que passam pelos pontos correspondentes das pontuais projetivas têm um só ponto comum com a circunferência.
Este conjunto de retas XX' é um feixe de segunda ordem por ser um conjunto de retas definidas por por pontos homólogos de duas pontuais de primeira ordem projetivas e não perspetivas e de bases distintas. Diz-se que a cónica é a envolvente das retas deste feixe de segunda ordem.
A pontual de segunda ordem é uma curva de segunda ordem (cónica) que contém os vértices V e V' dos feixes projetivos e não perspetivos que a geram por intersecção das retas correspondentes.
O feixe de segunda ordem é envolvido por uma curva de segunda ordem (cónica) que contém as bases das pontuais, projetivas e não perspetivas, que a geram por ligação dos pontos correspondentes
Pode assim definir-se uma cónica como base de uma forma elementar de 2ª ordem (pontual ou feixe).
Chama-se razão dupla de 4 tangentes de um feixe de 2º ordem à razão da pontual que se obtém cortando essas 4 retas tangentes por uma outra tangente qualquer.

Segue-se uma ilustração das pontuais, projetivas não perspetivas, em distintas bases, feixes centrados em O, ângulos e razões duplas calculadas, etc.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos de tangência [?: PODIA ]


Finalmente apresentamos uma construção do eixo da projetividade definida pelas pontuais A, B, C e A', B', C' que é a reta PQ' e ilustramos com uma reta XX' em que X é variável sobre PQ e X' é determinado usando o eixo da projetividade definida. Pode animar a figura e verificar como XX' em todas as suas posições mantém um ponto de contato com a circunferência e como o conjunto das retas XX' formam a circunferência.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode controlar a animaçao e mover os pontos P e Q'[? PODIA]
O eixo da projetividade é a reta que passa pelos pontos de tangência das bases das pontuais projetivas. Sabemos que a reta PQ' é a polar do ponto P' ou Q (ponto duplo da projetividade) Se as bases PQ e P'Q' se encontrarem num ponto do infinito, o eixo de projetividade (ou a polar do ponto no infinito das bases) passa pelo centro da circunferência.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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Pontual de segunda ordem (circular)

Na construção que se segue, temos uma circunferência e dois feixes de retas centrados em pontos V e V' da circunferência, abcd a passar por V e a'b'c'd' a passar por V', em que a=VA, b=VB, c=VC, d=VD e a'=V'A, b'=V'B, c'=V'C, d'=V'D, sendo A, B, C, D pontos da circunferência: a.a'=A, b.b'=B, c.c'=C e d.d'=D.
Verifica-se que os ângulos AVC (de vértice V e lados VA=a e VC=c) e AV'C (de vértice V' e lados V'A=a' e V'B=b' são iguais (ou congruentes por estarem inscritos no mesmo arco da mesma circunferência), etc. As igualdades dos ângulos (a,c)=(a',c'), ... ilustradas na construção, garantem que são iguais as razões duplas dos 2 feixes: (abcd)=(a'b'c'd'), ou seja os feixes V(ABCD) e V'(ABCD) são projetivos
De facto, já tínhamos visto que os feixes projetivos V(ABC) e V'(ABC) definem a cónica que passa por V, V', A, B, C. Estamos com esta construção a ilustrar que a projetividade mantém invariantes as razões duplas tanto pelo lado dos ângulos e das retas (abcd)=(a'b'c'd') como pelas pontuais resultantes de secções dos feixes por uma reta r.
Lembramos que a razão dupla de um feixe (abcd) é igual à razão dupla de qualquer pontual retilinea que se obtenha por secção do feixe e que dois feixes abcd e a'b'c'd' são projetivos sse (abcd)=(a'b'c'd').
No caso presente da nossa construção com circunferência, dadas as relações de iguadade ou congruência entre os ângulos correspondentes, diz-se mesmo que os feixes são congruentes.
Transcrevem-se os enunciados de Izquierdo a este respeito:
Os feixes obtidos ao projetar os pontos A, B, C de uma circunferência a partir de vários pontos dela, V, V', ... são congruentes e, por isso projetivos e, reciprocamente,
O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes (não paralelas) a.a', b.b',... de dois feixes congruentes centrados em V e V' é uma circunferência que passa pelos vértices dos feixes.
Esse lugar geométrico recebe o nome de pontual circular ou circunferência pontual. Dois feixes de primeira ordem projetivos não perspetivos determinam uma pontual de segunda ordem.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Se pensarmos na reta VV' como reta do feixe centrado em V, a correspondente reta no feixe centrado em V' será a tangente em V' (V' é ponto da pontual circular interseção dessas retas correspondentes). Se pensarmos em VV' como reta do feixe centrado em V' a sua correspondente é a tangente em V. A base da pontual de segunda ordem (circular neste caso) é a circunferência a que pertencem os pontos da pontual.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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