Pontuais projetivas sobre uma circunferência: Pontos duplos.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base circular. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D' como interseção de V'D''com a circunferência. Convém reparar que variar r'' é variar a projetividade e, mantendo ABCD, forçosamente varia A'B'C'D', na projetividade de eixo r''.
Como o eixo r'' inicialmente mostrado não interseta a circunferência, deslocando o ponto D ao longo dela, verá que D é sempre diferente de D'. A projetividade com este eixo não admite pontos duplos.
Se deslocar o eixo r'' de modo a ser tangente à circunferência, deslocando D sobre a circunferência verá que no ponto de tangência D=D'. Há um ponto duplo para a projetividade de eixo tangente à circunferência. Se deslocar o eixo r'' de modo que seja secante, deslocando D poderá ver que D=D' nos dois pontos de interseção do eixo r'' com a circunferência. A projetividade de eixo secante tem dois pontos duplos.

Dois feixes perspetivos de centros sobre a circunferência (as retas correspondentes pela perspetividade encontram-se em pontos de uma mesma reta - eixo r'') determinam sobre a circunferência duas pontuais b'=V'B', c'=V'C', d'=V'D'.... é óbvio que se podem deduzir a igualdade entre as razões duplas: (abcd)=(A''B''C''D'')=(a'b'c'd') A perspetividade entre dois feixes mantém a razão dupla. E Izquierdo chama razão dupla (ABCD) de quatro pontos da circunferência à razão dupla dos dos eixos VA, VB, VC, VD sendo V um ponto da circunferência. Assim, sendo perspetivos os feixes que determinam sobre a circunferência {A, B, C, D} e {A', B', C', D'}, então (ABCD)=(A'B'C'D').

---

• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Pontuais projetivas sobre uma mesma reta. Pontos limite.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base.
No caso presente, tomamos um ponto V que não pertence a r e sobre uma reta r₀ paralela a r, tomamos os pontos A₀=A'V.r₀, B₀=B'V.r₀ e C₀=C'V.r₀ (perspetividade entre as pontuais A'B'C' e A₀B₀C₀ ).
A projetividade é composta da perspetividade A'B'C'→^V→ A₀B₀C₀) com a projetividade ABC → A₀B₀C₀ de eixo definido pelas interseções A₀B com AB₀ e A₀C com AC₀. A imagem de um ponto D é obtida do seguinte modo: A₀D interseta o eixo num ponto que com A define uma reta que interseta r₀ em D₀. Finalmente: D'=r.VD₀. Deslocando D sobre r, pode verificar que, pela projetividade, o ponto J é o original do ponto do infinito de r e o ponto K' é a imagem do ponto no infinito de r pela mesma projetividade. Estes pontos tomam o nome de pontos limite para a projetividade ABC→→A'B'C' sobre r.

---

• F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Projetividade entre pontuais de uma reta ou de um círculo.

Na construção que se segue, temos uma projetividade entre pontuais definida por 3 pares de pontos correspondentes A→A', B→B' e C→C' todos sobre uma mesma base r. Isso está feito tomando dois feixes perspetivos V.ABC e V'.A'B'C', de tal modo que os pontos VA.V'A'=A'', VB.V'B'=B'' e VC.V'C'=C'' estão sobre uma mesma reta r''. Para determinar a imagem de um ponto qualquer D por essa projetividade, toma-se D''=VD.r'' e vem D'=V'D''.r
Esta projetividade é composta das duas perspetividades centradas em V e V'.
Deslocando D sobre r, pode verificar que há dois pontos de r que são imagens de si mesmos por essa projetividade, a saber o ponto P de intersecção da reta VV' com r e o ponto Q de intersecção de r'' com r (poderia este último ser o ponto do infinito de r). Não há outros pontos duplos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Fizemos uma construção em tudo similar à anterior para definir uma projetividade entre duas pontuais ABC... e A'B'C'... de uma mesma base circular.
Por razões que se prendem com a boa definição de correspondência um a um, para centros dos feixes perspetivos tomámos dois pontos V e V' sobre a circunferência: As retas correspondentes dos feixes intersetam-se em pontos de r'': A''= VA.V'A', B''=VB.V'B' e C''=VC.V'C'.
Para determinar a imagem de um ponto D qualquer da circunferência, tomo a reta VD e D''=VD.r'', para determinar D' como intersecção de V'D''com a circunferência.
Deslocando D sobre a circunferência poderá verificar que os pontos de intersecção da circunferência com r'' são imagens de si mesmos para essa projetividade. E não há outros pontos duplos para tal projetividade. Fácil é verificar, com esta construção, que podemos determinar projetividades (entre pontuais sobre uma mesma base circular) com 0, 1 ou 2 pontos duplos (conforme r'' corte a circunferência em 0, 1 ou 2 pontos).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Da pontual retilínea à pontual circular.

Chamámos pontuais ou fileiras de primeira categoria ou ordem a conjuntos de pontos colineares, isto é, pontos de uma mesma reta. À reta dos pontos da pontual chamámos base da pontual. Por ser uma reta a base das pontuais estudadas, usámos frequentemente o nome de pontual retilínea.
Mais recentemente, levantámos a necessidade de designar conjuntos de pontos de base cónica. Notámos que Izquierdo, por exemplo, classifica-as como pontuais de segunda categoria. E que a todas elas chama pontuais elementares (de base retilínea ou base cónica)
Definições, propriedades e processos das transformações projetivas entre pontuais podem ser estendidas da primeira para a segunda ordem.
Nesta entrada, apresentamos a construção da correspondência um para um entre os pontos de uma reta (pontual retilínea) e os pontos de uma circunferência (a palavra círculo é usada muitas vezes com o mesmo sentido e, por isso, pontual circular)
Para estabelecer essa correspondência entre os pontos de um círculo e de uma reta r, tomamos o ponto P do círculo em que a tangente respetiva interseta r no seu ponto do infinito e o feixe elementar de primeira ordem centrado em P {a, b, c, d, ...}. A reta a que interseta a circunferência em A, interseta a reta r em A' correspondente... E a reta p que interseta o círculo em P, interseta a reta r no seu ponto do infinito.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura, pode fazer variar as retas do feixe centrado em P.
Para esta correspondência um a um, para centro do feixe da projeção não podemos tomar, como é óbvio, um ponto P exterior nem interior ao círculo.
Por este processo (ou análogo) aqui descrito, podemos sempre fazer corresponder a cada ponto de uma pontual retilínea um ponto de pontual cónica.

---

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

AVISO DE ACIDENTE

Nesta última semana, por algum motivo, os originais corrigidos das publicações (entradas) desapareceram. Estamos a tentar recuperar e repor na medida das nossas possibilidades. Os cuidados de Aurélio Fernandes dão-nos provas de que as reposições são documentos provisórios cheios de gralhas e imprecisões. De facto, nós corrigíamos diretamente sobre o servidor.... de onde deixámos voar os papéis. Mantemos as portas abertas e as publicações (indecentes) porque assim podem ver as construções feitas e isso é o que nos importa mais.
De resto, podemos pedir desculpa pelos inconvenientes e incómodos de alguns leitores, mas..... isto é um blog e já vivemos vários períodos de servidores que fecharam sem aviso, construções degradadas, atualizações de aplicações (java, jar) que afastaram da nossa vista construções feitas, etc. Amadores!!! Pois.
Até logo.
Entretanto, procuramos o que falta e tentamos rever e corrigir as versões dos textos visíveis.
Os (ir)responsáveis (falando geometricamente :-) e não só),
Arsélio, Aurélio e Mariana.