Ângulos de retas e cónicas

Na segunda, tomamos uma cónica e dois feixes centrados em dois pontos da cónica a intersetar-se em outros 4 pontos da cónica que corresponde a fazer a cruzar retas tiradas de dois pontos para os outros quatro (ver definição de cónica por Steiner ou construção de Braikenbridge-McLaurin). Sabemos que os pontos da cónica são intersecções de retas correspondentes em feixes projetivos. Verificamos que são iguais as razões duplas dos dois feixes projetivos assim definidos.

Na figura (actual, não) podíamos fazer variar os pontos visíveis sobre a cónica. Mas sempre podemos fazer outra para agora: br>
Fica assim respondida a pergunta
Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?
deixada na entrada Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos.
A resposta é dada pela observação simples das figuras. O que se mantém é a razão dupla das retas dos feixes que é uma razão dupla (razão de razões dos senos dos ângulos formados por pares de retas).

---

F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Dois feixes projetivos têm a mesma razão dupla

Feixes perspetivos têm a mesma razão dupla.

Na anterior entrada vimos que a razão dupla (abcd) de quatro retas de um feixe é igual à razão dupla (ABCD) de uma pontual obtida como secção por uma reta r do feixe (A = a.r, B = b.r, C = c.r, D = d.r)
A figura ilustra que são iguais as razões duplas de dois feixes perspetivos (abcd) =(a'b'c'd') que são tais que as retas correspondentes se intersetam em pontos de uma mesma reta.
Seja a.b.c.d={V}, a'.b'.c'.d'={V'} e r que não passe por V nem por V'. Se A=r.a=r.a', B=r.b=r.b', C=r.c=r.c' e D=r.d=r.d', então (abcd)=(a'b'c'd')=(ABCD).

Na figura, pode fazer variar a,b,c,d, r, A,B,C,D. Podia!

---

• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Razão dupla de quatro retas de um feixe.

Tal como fizemos com a definição de razão dupla de quatro pontos colineares, definiremos razão dupla de 4 retas concorrentes num ponto. Lembramos que    (ABCD)= (ACD)/(BCD).
Como na entrada anterior definimos    (abc)= sen(ab)/sen(ac),       para razão dupla das quatro retas  a, b, c, d  concorrentes em    V     tomaremos    (abcd)=(acd)/(bcd)    =     (sen(ac)/sen(ad))  /   (sen(bc)/sen(bd)).
Na construção abaixo, consideramos um ponto    V     para centro do feixe de retas    a, b, c, d,     um sentido representado no arco vermelho, duas retas    r     e    r'     e respetivas pontuais obtidas por secção do feixe    (A=a.r, ..., A'=a.r', ...).



Pode fazer variar   a,  b, c, d,  r  e  r'  na figura.

Ficam ilustrados vários resultados:

1. quando a=b,  (abcd)=1; quando a=c,  (abcd)=0 ; quando a=d,  (abcd)=±∞
2. (abcd)=(ABCD),  já que, como vimos antes,  (acd).(VC/VD)=(ACD)  e  (bcd).(VC/VD)=(BCD)  e, dividindo ordenadamente,  (acd)/(bcd)=(ACD)/(BCD)
3. (ABCD) = (A'B'C'D') = (abcd)
4. ....

---

• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Razão simples de 3 retas de um feixe.

Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos  A, B, C  incidentes numa reta  r=ABC  tendo escolhido uma orientação (positiva) :  (ABC) = AB/AC  (segmentos orientados da mesma direção  r,  no caso  AB=B-A  é positivo se  A  está à esquerda de  B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas  a, b, c  incidentes num ponto comum  V=a.b.c  tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto  V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas  a, b, c  incidentes em  V.
Definimos a razão simples de  a, b, c  do seguinte modo:
 (abc)=sen(ab)/sen(ac), em que   (ab)   e  (ac)   são ângulos orientados de duas retas, sempre que   <)ab   está entre   0º  e  180º;  sen(ab) ≥ 0  e sempre que está entre  180º  e  360º,  sen(ab) ≤ 0  o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos   <)ab   entre   -180º  e  0º.
 (abc) = sen(ab)/sen(ac)  tem comportamento semelhantes a  

1.  (ABC) = AB/AC:
2. quando  a = b,  (abc) = 0
3. quando  a = c,  (abc) = ±∞
4. quando  a<  está entre   b   e  c,  (abc)<0
5. ...

Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta  r  não incidente em   V:   A = a.r,  B = b.r,  C = c.r, podendo constatar que a razão simples  (ABC)  não é igual à razão simples  (abc)  e que  (ABC)  varia com  r.



Pode fazer variar  a, b, c  e  r  na figura.

Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados da lei dos senos e permitem estudar a relação entre  (abc)  e  (ABC):
Ilustra-se na figura que  AB  / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será  AC / sen(ac) = VC / sen(ar)  e, em consequência,  sen(ab) = VB  e  AC / sen(ac) = VC  e  (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc)  sse   VB =VC. (ABC) = (abc)  sse   VB =VC.

---

• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004