Teorema de Pascal

Na entrada Hexágono com diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita ilustrava-se o resultado:
Teorema de Brianchon (1760-1854): Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto, ou "se um hexágono circunscreve uma cónica então as suas diagonais são concorrentes"
obtido por dualização do Teorema de Pascal (1623-1662): Se pelos vértices de um hexágono passa uma cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em 3 pontos que inicidem numa mesma reta, ou se um hexágono se inscreve numa cónica, os pares de lados opostos intersetam-se em pontos colineares.
Na ilustração que se segue, temos uma cónica e o hexágono de lados a, b, c, d, e, f nela inscrito (os vértices a.b, c.d, d.e, e.b, b.f e f.a são pontos da cónica) sendo, por isso, os pontos a.d, b.e, c.f colineares.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Em "Essay pour les coniques" de 1640, Blaise Pascal enuncia este resultado como segue:"Se num plano MSQ, do ponto M partem as duas retas MK e MV, e do ponto S partem as duas retas SK, SV… e pelos pontos K e V passa a circunferência de um círculo cortando as retas MV, MK, SV, SV, SK nos pontos O, P, Q, N:
eu digo que as retas MS, No, PQ são da mesma ordem" no sentido de pertencerem a um mesmo feixe.

Vale a pena chamar a atenção para o facto de este Teorema de Pascal ser o recíproco do resultado ilustrado em Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Cónica por 5 pontos

Na entrada Cónica inscrita num pentágono ilustrava-se o resultado:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica (tangente a p, q, A(p.r), B(q.r), e AB ou inscrita num pentágono).

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Nessta entrada, apresentamos uma construção que ilustra o resultado dual desse, descoberto por Braikenbridge e Maclaurin, que se enuncia como segue:
Se P,Q, R são três pontos não colineares e xyz é um triângulo variável em que x passa por P, y passa por Q e z passa por R, enquanto x.z e y.z são pontos respetivamente de b e a fixas (não necessariamente a passar por P ou Q) não incidentes em PQ
então
o lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica (que passa por P, Q, a.PR, b.QR e a.b ou circunscrita a um pentágono)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Esta construção sugere que os lados opostos de um hexágono inscrito numa cónica (de vértices P, Q, a.PR, b.QR, a.b, x.y) se intersetam em pontos colineares (b.x, a.y, PR.QR=c.d na figura).

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

Em várias entradas abordámos definições de cónicas, por exemplo,
- na entrada Steiner: definição dual mostrámos que
Quaisquer 5 retas, das quais não há 3 que incidam num mesmo ponto, determinam uma única cónica tangente a elas
- ou na entrada Steiner: cónica por 5 pontos construímos uma cónica passando por 5 pontos, dos quais não houvesse 3 colineares, sugerindo um resultado dual do anterior
Quaisquer 5 pontos, dos quais não há 3 colineares, determinam uma única cónica que passa por eles
Qualquer projetividade (entre conjuntos de pontos ou entre conjuntos de retas) fica bem definida por 6 dados: 3 elementos e seus 3 correspondentes. O que estes resultados nos dizem é que não são precisos os 6 elementos para definir uma cónica. Bastarão 5.
Uma construção que é atribuída a William Braikenridge e Colin MacLaurin ilustra bem que 5 pontos (dentre os quais não há 3 colineares) definem uma cónica, ou que há uma só cónica a passar por 5 pontos dados. De seguida, apresentamos essa construção:
Tomam-se cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3. E toma-se uma reta variável z que passe por A₁B₂.B₁A₂.
A reta A₂C₁ interseta z, seja z.A₂C₁ que com A₁ definem uma nova reta. Do mesmo modo, determina-se outra reta que passa por B₁ e por z.B₂C₁.
E designamos por C₂ a intersecção dessas duas retas definidas por último.

Quando z roda em torno de A₁B₂.B₁A₂, C₂ descreve uma cónica que passa pelos cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Resumindo:
A cónica que passa por A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3, é o lugar geométrico dos pontos C₂=A₁(z.C₁A₂).B₁(z.C₁B₂), em que z é uma reta variável que passa pelo ponto A₁B₂.B₁A₂.

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H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Hexágono que tem diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita

Na entrada anterior, apresentámos a demonstração (e a construção dinâmica que a ilustra) do
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

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No livro Geometria Projetiva que temos vindo a estudar, Coxeter apresenta várias ilustrações para esse resultado.
Aqui deixamos uma delas, "animada".
Trata-se de um hexágono ABCDEF em que as diagonais AD, BE e CF são concorrentes num ponto.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmicaA animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Construímos de tal modo que, mantendo fixos os lados AB, BC e AF, ao deslocar o ponto Z de encontro das diagonais, o lado XY (que toma a posição particular de DE, à partida) toma como posições particulares cada um dos lados do hexágono ABCDEF. As posições do ponto X sobre a reta EF constituem uma pontual relacionada por uma projetividade de eixo CF (não perspetiva) com a pontual Y de pontos sobre a reta CD. Conformes à definição de Steiner, as retas XY são tangentes a uma cónica (única) inscrita no hexágono ABCDEF.

Teorema de Brianchon

A construção e a demonstração da última entrada deram-nos um método simples e seguro para determinar uma cónica inscrita num pentágono qualquer. Pode ser descrito como segue:
Seja um pentágono ABCDE. Tome-se um ponto variável sobre uma das diagonais, por exemplo, Z em CE.
Para cada Z de CE tomem-se os pontos X=DE.ZB e Y=CD.AZ e a reta XY por eles definida.
O conjunto das retas assim definidas (quando Z percorre CE) são tangentes à cónica inscrita no pentágono ABCDE.

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Na altura, chamámos a atenção para o hexágno da figura ABCYXE, com os seis lados tangentes à cónica. Cada par de vértices opostos define o que chamamos uma diagonal do hexágono, a saber AY, BX e CE e a construção associada mostrava-nos que quaisquer que fossem as pontuais X (sobre DE) e Y (sobre CD) projetivas, i.e. tais que AY e BX se intersetassem sobre CE. Via-se também que os lados desse pentágono eram posições particulares de XY e, por isso, a cónica definida é tangente a todos os lados do pentágono ABCDE.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica animada:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se os seis lados de um hexágono qualquer são tangentes a uma cónica, cinco deles, como tomámos por exemplo, DE, EA, AB, BC e CD, também são tangentes. Como é única a cónica tangente a estas 5 retas fixas, o sexto lado tem de coincidir com uma posição particular de XY para a qual BX.AY é um ponto de CE
Fica assim demonstrado o
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.