Triângulos polares perspetivos por um ponto

Na entrada anterior demonstrámos que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos ou mais concretamente, demonstrámos que.
se as polares a', b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.

---

É certo que se dois triângulos polares ABC e a'b'c' (distintos) são perspetivos relativamente a uma reta n=A₁B₁, serão perspetivos relativamente a um ponto N. Acrescente-se que este ponto N é o polo dessa reta n.
Retomamos a construção dinâmica do artigo anterior.


[A.A.M]

A reta n foi obtida como a reta passando pelos pontos A₁=a.a'=BC.a', B₁=b.b'=AC.b', C₁=c.c'=AB.c'.
O polo N dessa reta n é obtido como ponto de interseção das retas (b'.c')A e (a'.c')B. Como é óbvio a reta (a'.b')C também passa por N que é o centro da perspetividade que transforma ABC em (b'.c')(a'.c')(a'.b').

Teorema de Chasles

---

Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta em A, preservando a incidência.
Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).
É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são projetividades.

---

Chasles demonstrou que se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos.
Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.
[A.A.M.] Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam-se: A₁=a.a', B₁=b.b' e C₁=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só considerando a incidência preservada. Por exemplo, como C₁=c.c'=AB.c', a polar de C₁ é (a'.b')C=r.
Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C₁APB em AC₁BP e, pela polaridade, AC₁BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma em A₁CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).
Como a projetividade C₁APB → A₁CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C₁AP→A₁CR é uma perspetividade. O centro da perspetividade B₁ = AC.PR e, por isso, A₁C₁ incide em B₁. Fica assim provado que A₁, B₁ e C₁ são colineares.
Isto não funciona se A₁ ou B incidirem em b'.

Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

---

Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP_c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P_a=a.AP, P_b=b.BP e P_c=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos X_a=a.AX, X_b=b.BX, X_c=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos A_p=a.p, B_p=b.p e C_p=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos A_x=a.x, B_x=b.x e C_x=c.x, pelas projetividades (BC)(P_aA_p), (AC)(P_bB_p) e (AB)(P_cC_p) aplicadas respetivamente a X_a, X_b e X_c. Determinamos x=A_xB_x.
[A.A.M.] A construção apresenta a determinação de dois deles, B_x e A_x, descrevendo a construção de B_x.
Pela projetividade (AC)(B_pP_b), determinar B_x como transformada de X_b :
a) A projetividade (AC)(B_pP_b) é tal que A→C →A e B_p→P_b→B_p que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B_pR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B_pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta B_pR em Z. ACB_pP_b →^QZRB_pW→^AQTP_bW→^RCAP_bB_p
b) Para determinar B_x como imagem de X_b por (AC)(B_pP_b), sobre a construção desta tomamos a reta X_bT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B_x. Chamamos E a CG.RA e a X_bT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (P_bB_p)(X_bB_x).
Para isso, traçamos a reta X_bW que interseta RP_b em F e RB_x em Y e tomamos o ponto RB_x.P_bW=P₀
P_bB_pX_bB_x →^WP₀RYB_x →^P_bWFYX_b →^RB_pP_bB_xX_b
Do mesmo modo, se procedeu para determinar A_x e se procederia para verificar que (X_aA_x)(P_aA_p).
A polar de X é assim obtida x=A_xB_x.

---

Pode deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.

Polaridade a partir de um triângulo auto-polar

---

Mais do que uma vez, introduzimos ligações entre as palavras polar, polo e triângulos, de que são exemplos os artigos Polar trilinear de um ponto, Polar trilinear , Da polar trilinear para o pólo , etc. Polaridade trilinear pode já ter sido expressão utilizada. Essas expressões e, em particular, a polaridade trilinear introduzida não é uma polaridade, no sentido de que não é uma correlação projetiva que faz corresponder a cada ponto (reta) uma só reta (ponto), tal que se X tem por polar x, x tem por polo X e preservando a incidência.

---

Vamos agora provar que
Qualquer correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade
Considere-se a correlação ABCP→abcp, em que a, b, c são os lados de um triângulo ABC e P é um ponto distinto dos vértices do triângulo. E seja p uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo.
O ponto P e a reta p determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é uma polaridade. De futuro, esta polaridade assim definida pode ser representada por (ABC)(Pp)

Triângulo auto-polar.

---

Lembramos que:
a) Uma polaridade é uma correlação projetiva que, se transforma um ponto A numa reta a', transforma a' em A: A polo de a', a' polar de A. b) Se A é um ponto de b e B, polo de b, é um ponto de a, polar de A, dizemos que A e B são pontos conjugados, e que a e b são retas conjugadas.
c) Um ponto A que incide na sua polar a' é conjugado de si mesmo (auto-conjugado). Dualmente, se uma reta a contem o seu polo, é conjugada de si mesma (auto-conjugada).
No artigo anterior, demonstrámos que Uma reta que passa por 2 pontos conjugados de si mesmos não pode ser conjugada de si mesma
e que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos conjugados de si mesmos.
Pode demonstrar-se também que
uma reta auto-conjugada contém um só ponto auto-conjugado.
Uma reta conjugada de si mesma contém o seu polo, que é auto-conjugado (conjugado de si mesmo). A existência sobre a reta auto-conjugada de outro ponto auto-conjugado é absurda já que haveria dois pontos diferentes associadas a uma mesma reta por uma correlação que associa a cada ponto uma só reta e a cada reta um só ponto.
Sejam dois pontos, X e Y, conjugados por uma polaridade sobre uma reta que não seja conjugada de si mesmo. Então há uma correspondência que associa a qualquer ponto de c, não autoconjugado, um outro ponto de c.
De facto, na reta c, não autoconjugada, a projetividade X→Y, em que Y=c.x, transforma qualquer não auto-conjugado ponto B num outro ponto A=b.c, cuja polar é BC=a. A mesma projetividade transforma A em B.

Dualmente, as retas x e CX=y são emparelhadas com retas conjugadas do feixe centrado em C.

---

Um triângulo como ABC, em que cada vértice é o polo do seu lado oposto (ou em que quaisquer dois vértices são pontos conjugados, ou em quaisquer dois lados são retas conjugadas) é classificado como triângulo auto-polar