Polos e polares. Conjugados e auto-conjugados

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Haverá limitações à ocorrência de auto-conjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos auto-conjugados não pode ser auto-conjugada
Se uma reta a passar por 2 pontos auto-conjugados fosse conjugada de si mesma, teria de conter o seu polo A e pelo menos, um outro ponto B auto-conjugado. A reta polar de B conteria A e B e, por isso, coincidiria com a. Quer dizer que A e B teriam a mesma polar, o que é impossível já que a polaridade é uma correlação que associa a cada reta um só ponto e a cada ponto uma só reta.
E vamos demonstrar que
Uma reta não pode inicidir em mais que dois pontos auto-conjudados

Sejam p e q duas retas, passando por C, polares de 2 pontos auto-conjugados: P e Q. Chamemos c à reta que passa por P e Q, c=PQ.
Sobre p tomemos um ponto R, distinto de P e C. A polar r de R passa por P. E tomemos r.q=S que é o polo de s=QR.
T=r.s é o polo de t=RS.
B=t.c é o polo de CT=b que inerseta c em A, conjugado harmónico de B relativamente a P e Q.
O ponto B não pode coincidir com Q nem com P, pois se fosse B=Q, então teria de ser R=C e se fosse B=P, teria de ser S=C, r=p e R=P o que seria absurdo já que assumimos R distinto de P e de C. Como A≠B por serem conjugados harmónicos, B não é conjugado de si mesmo.

Como as polares de uma pontual formam um feixe de retas projetivamente relacionado com a pontual, cada ponto X em c, determina um conjugado Y em c que não é mais que o ponto em que a polar x de X encontra c
X→x→Y

Quando X=P, x=p e Y=P. P é um ponto invariante desta projetividade. Do mesmo modo, se prova que Q é um ponto invariante. Mas quando X é B, Y é um ponto distinto de A e, por isso, a projetividade não é a identidade. P e Q são os únicos pontos invariantes; ou seja P e Q são os únicos pontos auto-conjugados em c. Fica assim provado que c não pode ter mais que dois pontos auto-conjugados.

Correlação: Polaridade

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Chamamos polaridade a uma correlação que transformando cada ponto A numa reta a', transforma esta reta a' no ponto A.
Dizemos de a' que é polar de A e que é o polo de a'.
Por esta correlação projetiva que preserva a incidência, a cada ponto de a' corresponderá como polar uma reta passando por A (polo de A') ou que se A é polo de a', é centro de um feixe das retas polares dos pontos de a'.
Como uma polaridade dualiza as incidências, sempre que A incide numa reta b, a polar a de A passa pelo polo B de b e, neste caso, diremos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas. Quando A é um ponto da sua polar a, A é conjugado de si mesmo (ou auto-conjugado); A está sobre a sua polar a e a passa pelo seu polo A.
Haverá limitações à ocorrência de autoconjugados?
Demonstramos que
Uma reta que passa por 2 pontos autoconjugados pode não ser autoconjugada

Correlação projetiva

Neste estudo de geometria projetiva, já considerámos correspondências relacionando um ponto com uma reta e uma reta com um ponto: por exemplo a correspondência elementar que relaciona uma pontual sobre r com um feixe de centro O, em que a pontual é a secção por r do feixe. A projetividade foi definida como uma composta destas correspondências elementares
A extensão deste conceito ao plano, consistirá numa transformação X→x' relacionando cada um dos pontos do plano com uma só reta do plano e a transformação dual x→X' que relaciona cada uma das retas do plano com um só ponto do plano:
∀X ∃¹x': X→x'
e, dualmente:
∀x ∃¹X': x→X'
Chamamos correlação a qualquer transformação do plano que a cada ponto faz corresponder uma reta e a cada reta faz corresponder um ponto presevando a relação de incidência em conformidade com o princípio da dualidade. De acordo com esta definição, a correlação transforma fileiras (ou pontuais) em feixes, feixes em fileiras, triláteros em trivértices, quadriláteros em quadrivértices, etc.
A correlação é um conceito autodual, a inversa de uma correlação é uma correlação e a composta (ou produto) de duas correlações é uma colineação.

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Uma correlação projetiva é a correlação que transforma cada forma unidimensional projetivamente, no sentido de que se um ponto Y sobre uma reta b é transformado numa reta y', esta tem de passar pelo ponto B', imagem de b.

Seguindo a construção acima, provamos que qualquer correlação que transforma uma pontual projetivamente é uma correlação projetiva
Seja a e A' a reta e o ponto correspondentes pela projetividade que relaciona uma pontual de pontos X e um feixe de retas x'. Precisamos de estabelecer a relação entre dois pares , b e B', pela mesma projetividade. Seja Y um ponto de b e O um ponto fixo não incidente em a nem em b. E tomámos a reta OY que interseta a em X. A correlação dada transforma o ponto O numa reta o' fixa que não incida em A' nem em B'. OY é transformada no ponto o'.y' que é ligado a A' pela reta x'. Y e X são perspetivos por O e x' é perpsetivo com y' pelo eixo o'.
Como X e x' estão relacioados por uma projetividade, temos Y→^OX→x'→^o'y' a correlação induz uma projetividade Y→y' entre b e B', como queríamos.

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Para obter o resultado dual para um feixe e a correspondente pontual temos de considerar a pontual de pontos Y em b como uma secção do feixe centrado em B' das retas y' .

Colineação perspetiva - elação

ELAÇÃO
Se o centro O da perspetividade incide no eixo o da perspetividade, a colineação perspetiva toma o nome de elação
Uma elação está determinada quando são dados o seu eixo e um par de pontos correspondentes.
Na construção que se segue, são dados o eixo o e o par de correspondentes C e C'. O centro O fica assim determinado O=CC'.o. Para A qualquer, A' estará sobre OA e sobre EC' sendo E=AC.o e para qualquer B, B' está na interseção de OB com DC'.

Os pontos que são imagens de si mesmo (invariantes) por uma elação estão todos sobre o seu eixo.

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Qualquer colineação que tenha uma e não mais que uma pontual de pontos invariantes (imagens de si mesmos) é perspetiva.
Se uma colineação tem uma pontual de pontos invariantes, tem certamente um feixe de retas invariantes (imagens de si mesmas).

Colineação perspetiva - homologia

Já vimos no artigo anterior que quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva. Quaisquer dois triângulos perspetivos estão relacionados por uma colineação perspetiva que pode ser uma homologia ou uma elação conforme o centro e o eixo não são ou são incidentes.

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HOMOLOGIA
Fizemos construções de triângulos perspetivos em que os centros de perspetividade não incidiam no eixo de perspetividade. Quando isto acontece a colineação perspetiva toma o nome de homologia.
Uma homologia fica determinada quando são dados os centro e eixo e um par de pontos correspondentes colineares com o centro.
Na construção que se segue, tomaram-se o centro O, o eixo o, A e A' (sendo AA' incidente em O). Para um B qualquer, toma-se F=AB.o e B'=OB.FA'. Do mesmo modo, para um C qualquer, toma-se E=AC.o e C'=OC.EA'.

Para a homologia, o centro é único ponto invariante fora do seu eixo.