Colineação perspetiva

Na construção que se segue, os dois triângulos PQR e P'Q'R' estão relacionados por uma perspetividade de centro O.
O Teorema de Desargues garante que esses triângulos são perspetivos em relação a uma reta o.
Será que esta perpetividade de centro O é uma colineaçao?
Usando o resultado sobre colineações projetivas entre dois quadriláteros, vamos provar que isso é verdade.
Como vimos no anterior artigo, há uma só colineação projetiva que transforma o quadrângulo DEPQ em DEP'Q'. Esta colineação projetiva transforma a reta o=DE em si mesma e a reta PQ em P'Q', deixa invariante o ponto o.PQ=F=o.PQ'. E, como aceitámos, se uma projetividade deixa invariantes três pontos de uma reta, então deixa invariantes todos os pontos da reta o. Para essa colineação projetiva, as duas retas PP' e QQ' são invariantes e incidem no ponto O, também ele invariante. O ponto R=DQ.EP é transformado em DQ'.EP'=R'. O dual do segundo axioma do artigo anterior "Se uma projetividade deixa invariantes cada uma de três retas passando por um ponto O, então qualquer reta passando por O é imagem de si mesma por essa projetividade", garante que para a projetividade DEPQ→DEP'Q', são invariantes todas as retas passando por O.
Do mesmo modo, a colineação projetiva que relaciona os quadrângulos EFQR e EFQ'R' para a qual E e F são invariantes transforma QR em Q'R' e a colienação projetiva que relaciona DFPR e DFP'R' transforma PR em P'R' e DF em si mesma.
Fica assim demonstrado que a perspetividade de centro O, a relacionar três retas que se inersetam duas a duas sobre retas do feixe de centro O, é uma colineação.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Esta colineação relacionando dois triângulos perspetivos chama-se naturalmente colineação perspetiva.
O ponto O e a reta o, a partir dos quais os triângulos são perspetivos, tomam os nomes de centro e eixo da colineação perspetiva.

Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas lados de um quadriátero completo em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva que transforma quatro pontos vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.
Para este resultado ( e os outros, claro!) com quadriláteros convém ter presentes os seguintes axiomas
(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.
e
(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta, então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmmo por essa projetividade.

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(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados (vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que transforma um no outro.
Constrói-se.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Notas de demonstração:
a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só termos 4 pares de pontuais projetivas que poderá verificar conduzem a uma única colineação (e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade entre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com A'B'E'.
Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y ou DF. As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'.
Para provar que a correspondência entre a e a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante para a perspetividade X'→Y'.
Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X' chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta colineação projetiva que leva de ABCDEF para A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo recorrendo ao resultado enunciado imediatamente antes deste.

Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de transformações projetivas particulares que vão ser utilizadas.

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(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em feixes, quadriláteros em quadriláteros, etc.
As translações, rotações, reflexões, dilações são exemplos conhecidos de colineações.
(b) A inversa de uma colineação é uma colineação, a identidade é uma colineação e a composta (ou produto) de duas colineações é uma colineação.

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Uma colineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que, se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma projetividade (bem como a relação entre x e x').

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(c) Vejamos um exemplo de colineação projetiva

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Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A construção X> → Y dá um processo geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, partir de uma composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxiliar e centros O₁ e O₂ não incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que
∀ X∈ x, ∃¹Y∈y: Y é obtido de X por projetividade.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a' b e b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma colineação entre dois triângulos (a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC. Determinamos P₁ sobre x, P₁=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o correspondente P₂ de P₁. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P₂O'.a'. Pode deslocar P sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P persp_O P₁ proj P₂ persp_O'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade
em b=AC, Q persp_O Q₁ proj Q₂ persp_O'Q' em b'=A'C'
em c=AB, R persp_O R₁ proj R₂ persp_O'R' em b'=A'B' .
Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma colineação como uma transformação f ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um triângulo noutro:
∀ (l,l'), ∀ L∈ l., .∃¹L'∈l': f(L)=L'. Claro que f^-1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',… como é óbvio

De um quadrilátero a outro com o mesmo triângulo

Na construção que se segue, tomámos um quadrilátero completo de vértices P,Q, R, S. Os pontos A, B, C são as interseções de lados PS.RQ=A, QS.RP=B e QP.RS=C que não são vértices. Ao triângulo ABC chamamos triângulo diagonal de lados a=BC,b=AC,c=AB.
Acrescentando as interseções dos lados do triângulo ABC com os lados do quadrilátero de vértices P, Q, R, S, a saber:
BC.QR=A₁, AC.PR=B₁, AB.QP=C₁ e BC.PS=A₂, AC.QS=B₂, AB.RS=C₂; que definem as retas p=A₁B₂,
q=B₁A₂, r=A₂B₂ e s=A₁B₁, obtemos um quadrilátero de lados p, q, r e s, cujo triângulo diagonal a, b, c é o mesmo triângulo ABC, diagonal de PQRS.



[A.A.M.]

Demonstração do Teorema de Desargues

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos quando estão relacionados por uma perspetividade. Esta noção estende-se a figuras envolvendo mais do que um ponto e mais do que uma reta. Dois exemplares de uma figura da mesma espécie dizem-se perspetivos se entre os seus pontos se pode estabelecer uma correspondência um para um que seja tal que os pares de pontos correspondentes estão sobre retas concorrentes ou se entre as suas retas se pode estabelecer uma correspondência uma a uma que seja tal que os pares de retas correspondentes se intersetam em pontos colineares.
Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.

[A.A.M.] Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues, que assim pode deixar de ser considerado axioma.
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.