Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:
Se os seis lados de um hexágono passam alternadamente por dois pontos, as três diagonais são concorrentes
Se tomarmos o hexágono definido pela sequência de lados ab'ca'bc', as suas três diagonais serão (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b')


[A.A.M.] Se o teorema de Pappus tem a ver com o eixo de projetividade entre pontuais iniciado anteriormente, o seu dual tem a ver com o centro da projetividade entre feixes, também já iniciado em anterior publicação
Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b') são concorrentes
Aqui fica a figura publicada para o centro de projetiivdade entre feixes. É um exercício interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como demonstração do dual.

De outro modo, enunciar e demonstrar o Teorema de Pappus

---

Para Coxeter, chama-se hexágono a um conjunto de seis pontos (vértices) sem exigir que não haja ternos de pontos colineares. Nestas condições, o teorema de Pappus pode aparecer enunciado assim:
Se os seis vértices de um hexágono estão alternadamente sobre um par de retas, então os três pares de lados opostos encontram-se em três pontos colineares.
Tomam-se ABC sobre a reta r e A'B'C' sobre a reta s e o hexágono AB'CA'BC', do qual os pares de lados opostos são B'C e BC', C'A e CA', A'B e AB' cujas interseções estão marcadas na construção abaixo, como L=B'C.BC', M=C'A.CA', N=A'B.AB'.
Se considerarmos a projetividade entre as pontuais ABC e A'B'C' para a qual A' é imagem de A, B'de B e C' de C, a figura sugere que L, M e N estão sobre o eixo dessa projetividade (a vermelho na figura). Será que L, M, N são mesmo colineares?


[A.A.M.] Demonstração: Na construção agora considerada, acrescentaram-se os pontos J=AB'.CA', E=AB.A'B' e K=AC'.CB'.
Fácil é ver que ANJB' é perspetivo por A' com ABCE que, por sua vez é perspetivo com KLCB' por C'.
Assim, como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que para a projetividade entre as pontuais ANJ e KLC, B' é ponto duplo (imagem de si mesmo). Se tem um ponto duplo B', esta projetividade é uma perspetividade por M, e M incide em NL, o que é o mesmo que dizer que L,M,N são colineares

Teorema de Pappus

Quando uma projetividade entre duas pontuais ou dois feixes é perspetividade

Uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas é uma composta de duas perspetividades. Para quaisquer duas pontuais de 3 pontos sobre bases distintas, sabemos determinar as duas perspetividades que compostas são a projetividade pedida. Haverá projetividades que são perspetividades?
Vamos provar que: uma projetividade que faz corresponder a cada ponto de uma pontual um só ponto de outra pontual em base distinta é uma perspetividade quando e só quando o ponto comum às duas retas (bases das pontuais) é comum às duas pontuais e é imagem de si mesmo pela projetividade
Assim:
1) Uma perspetividade deixa invariante o ponto comum às duas retas.
2) Se uma projetividade relacionando duas pontuais sobre bases distintas transforma um ponto E de uma pontual em si mesmo como ponto da outra pontual, este ponto comum às duas pontuais é comum às duas retas. Dados A,B, E e A', B', E, a correspondência A→A', B→B' e E→E é uma projetividade que é também a perspetividade de centro O, com O=AA'.BB'.
[A.A.M]

Projetividade entre conjuntos harmónicos

Vamos provar que: quaisquer dois conjuntos harmónicos de 4 pontos colineares ou quatro retas concorrentes estão relacionados por uma única projetividade.
Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça-se, por exemplo, FB' e toma-se o ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'
Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F'), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' obrigatoriamente transforma F em F'. O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de ponto duplo (F=F'=r.s) Deste resultado se tira que há uma projetividade que relaciona duas redes harmónicas ou de racionalidade, bem como duas sequências harmónicas. O mesmo raciocínio pode ser usado para a projetividade estabelecida entre dois feixes harmónicos distintos, pois ao intersetarmos cada um deles por uma reta caímos no caso das pontuais. De um modo geral, uma projetividade entre feixes (abf por R e a'b'f' por S) é uma perspetividade se e só se houver uma reta de ambos os feixes for transformada em si mesma, isto é, f=f'=RS. Esta reta que é imagem de si mesma toma o nome de reta dupla.