Relações métricas no triângulo - lados e pés das alturas

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações
AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'




Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

Relações métricas no triângulo isósceles inscrito.

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D
AB² = AD.AE.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais.
Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um triângulo isósceles (quando B' coincide com C').

Relações métricas - triângulos inscritos com um lado paralelo

O triângulo ABC está inscrito numa circunferência. A corda B'C' é paralela ao lado BC. AC' interseta BC em D. Verifica-se a seguinte relação:
AB.AC = AB'.AD.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABB' e ADC.

Relações métricas - Recta e circunferência

Dada uma reta r e uma circunferência de centro O, sendo AC a perpendicular a r que corta a circunferência em B (AB é um diâmetro). Tomada qualquer reta AM que corta circunferência em M e a reta em M', verifica-se que AM.AM'=AB.AC invariante



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre AMB e AM'C, retângulos em M e C e com o ângulo A comum.

Relações métricas - triângulo, bissetriz e circunscritas

Tomemos um triângulo ABC e a bissetriz interna do ângulo A. Seja D o pé da bissetriz no lado BC. Cada uma das circunferências circunscritas aos triângulos ABD e ACD intersectam os lados AB e AC nos pontos E e F. E o interessante é que se verifica BE = CF


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