Lados de um triângulos e suas projeções ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de triângulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC segmentos que verificam a seguinte relação métrica AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'.

A bissetriz e os lados do triângulo

A bissetriz do ângulo  do triângulo ABC divide o lado BC em dois segmentos BD e DC. Prova-se a seguinte relação métrica BD.AC=CD.AB já usada na anterior entrada:relação de Stewart aplicada à bissetriz.

Relação de Stewart no caso da bissetriz

Para um triângulo ABC, no caso de tomarmos a bissetriz AD=β do ângulo  a dividir o lado a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a relação de Stewart pode ser escrita assim:b²m+c²n=β²a+mna
e, sendo também verdade que                                  cn=bm,
bc=mn+β²

Na construção interativa que se apresenta a seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a, b, c, m, n, β e verificar que aquelas igualdades se mantêm.

Relação de Stewart

Dado um triângulo ABC e uma ceviana, por exemplo BD (do vértice B para o lado AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e AC, dos segmentos AD e CD determinados sobre AC pela ceviana e BD estão relacionados. Essa relação é conhecida como relação de Stewart que pode ser usada para determinar comprimentos de bissectrizes e medianas.

Operações sobre binómios, casos notáveis

Na construção pode fazer variar a, b, c, d.



Se ao quadrado ABCD, de área a², tirarmos o quadrado CHIJ, de área b², ficamos com o polígono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma área de BEFJ. Logo podemos substituir ABJIHDA por AEFG cuja área é (a+b).(a-b). Em conclusão, a²-b²=(a-b)(a+b).