Determinar os focos de uma elipse definida por 5 dos seus pontos

Uma elipse está definida por cinco pontos: A, B, C, D, E. Determinar os focos F₁ e F₂



António Aurélio promete a resolução para Setembro.

Cónica de Evans

Dado um triângulo ABC, determinemos:
- os pontos de napoleão Np₁ e Np₂
- os pontos de Fermat Fm₁ e Fm₂
- os pontos isodinâmicos W₁ e W₂

Num triângulo nem sempre existem todos os pontos FF, Np, WW; mas quando existem, estão os seis sobre a mesma cónica - cónica de Evans.

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isog-pontos-isodin.html (9/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/09/pontos-isodin-e-de-napole.html (26/9/08)

http://geometrias.blogspot.com/2008/07/napole-e-fermat.html (02/07/2008)

http://geometrias.blogspot.com/2009/01/pontos-de-fermat-pontos-isodinamicos-e.html(29/01/2009)


Colocamos dois casos, um em que a cónica de Evans é hipérbole e outro em que é elipse, por ser difícil aparecer a elipse quando deslocamos um dos vértices do triângulo. Nem sempre são visíveis no rectângulo de visualização todos os 6 pontos.






Cinco destes pontos seis pontos definem sempre uma cónica. Evans demonstrou que esta cónica contém o sexto ponto.

Hipérboles hipercores

Sugestão de beleza da entrada anterior. Só pela beleza mesmo.

Hipérbole de Kiepert

Tome-se um triângulo ABC, o seu circuncentro O e o seu ortocentro H.Estes cinco pontos definem uma cónica, no caso, a hipérbole de Kiepert, segundo Paul Yiu.




Para que triângulos é que estes cinco pontos definem duas rectas?

Circunferências e Tangentes

Dadas duas circunferências quaisquer de centros A e B. A recta AB intersecta as circunferência em quatro pontos. Tomemos os dois A' e B', mais distanciados. Tirem-se por A' tangentes à circunferência de centro B e por B' tangentes à circunferência de centro A.
As circunferências inscritas nos triângulos curvilíneos são congruentes.





(Paul Yiu, claro!)