Exercício de reflexão com régua e compasso

Temos vindo a propor alguns exercícios elementares com transformações geométricas do plano.
Aqui propomos a construção do transformado de um triângulo pela reflexão de eixo e (a preto)

Na construção dinâmica que se segue, pode usar as ferramentas disponíveis para construir a imagem do triângulo, como pode seguir a nossa proposta clicando sobre o botão ?

Homotetia e circunferência

Para duas figuras homotéticas, há sempre mais que uma homotetia que transforma uma na outra?

No exercício interactivo que apresentamos a seguir, esperamos que determine a circunferência homotética da circunferência dada, pela homotetia de centro em C (dado sobre a circunferência) e razão -1/3.

Para resolver o exercício, pode usar as ferramentas disponíveis e pode deslocar os elementos usando o primeiro botão da esquerda e o rato. Se quiser ver a solução bastará clicar no botão ?.

Depois de obter a solução - círculo de centro O' que passa por C(?) -, se clicar mais uma vez no botão ? aparecer-lhe-á uma circunferência de centro em O que passa por O' que é homotética da original. Qual é a razão desta homotetia?
Haverá mais alguma homotetia a transformar, uma na outra, as circunferências que passam por C de centros em O e O'?

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Nota:

Já não conseguimos recuperar a dinâmica da construção de exercício interactivo, mas apresentamos uma construção que considera os passos da resolução do problema inicial e da resposta sobre a razão da homotetia entre as circunferências concêntricas em O: (O,C) e (O, O').

Homotetia

Como acontecia na entrada anterior (de agora)Não é possível apresentar o exercício inteactivo que em 2009 publicámos e que continha em si mesmo todos os elementos necessároios, incluindo o enunciado. Deixamos o pequeno texto para servir a nossa memória futura (para outras tentativas de restauração)

"Exercício interactivo:
Há sempre uma homotetia que transforma um segmento noutro paralelo.

Propomos que determine o(s) centro(s) da(s) homotetia(s) que transforma(m) AB em CD.

Para resolver o exercício, pode usar as ferramentas disponíveis e pode deslocar os elementos usando o primeiro botão da esquerda e o rato. Se quiser ver a solução bastará clicar no botão ?." Deixamos uma figura dinâmica que contém as soluções do problema.

Meia volta com Cinderella

Lamentavelmente, os exercícios interactivos que construímos com o Cinderella não se recuperam com facilidade. Continuaremos a tentar. Entretanto deixamos o texto que então se escreveu e que não têm outro sentido que não seja manter a memória do que fizemos. E da construção que então fizemos, apresentamos o desenho final da resolução do problema... interactivo(?) "Exercício interactivo.
À medida que for construindo a sua resolução, verá designações para os novos elementos que confirmam se a construção está correcta. No fim, se quiser confirmar a correcção do seu trabalho clique sobre o botão ? e, caso esteja tudo bem, o computador confirmará, na caixa de texto, com "Muito bem"."

Ainda usando rotações

O problema de determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre três rectas paralelas, já publicado mais que uma vez, sugere as rotações como suporte para

determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre circunferências concêntricas.


Tomemos três circunferências - a, b, c - concêntricas quaisquer (centro em O). Tal como fizemos para as rectas paralelas, tomemos um ponto qualquer para um primeiro vértice, seja A sobre a.
Apliquemos uma rotação do plano de 60º em torno de A. O centro O vai para O' sobre a e a circunferência b vai para b'. Se tomarmos para C (=B') o ponto de b' que está sobre c, rodando em torno de A e amplitude 60º no sentido contrário, obteremos B sobre b.