Problemas usando reflexões -1-

Os deslocamentos (isometrias) de que temos vindo a falar podem ser utilizados em muitos problemas. Um exemplo clássico:
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?

Na ilustração dinâmica seguinte pode mover X sobre a recta r e conjecturar o mínimo que procura. A solução (usando reflexão em relação a r) pode ser vista clicando no botão apropriado.





Tomemos o deslocamento de um dos pontos, por exemplo, Q para Q', por reflexão em relação a r. A recta r é mediatriz do segmento QQ' e, por isso, sabemos que |QN|=|Q'N| e que, como a distância de Q a r é igual à distância de Q' a r, podemos afirmar que |PQ'| (segmento de recta) é a distância mínima procurada. N fica determinado pela intersecção de PQ' com r.

Muitos problemas semelhantes a este podem ser resolvidos com recurso a reflexões que mantêm invariantes as distâncias nos deslocamentos que por via delas se realizem.

Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?

Reflexões do plano

A composta de duas reflexões em relação a rectas paralelas a e b é uma translação. Pode ver-se na construção dinâmica que se segue. Nesta construção, pode movimentar o triângulo ABC e particularmente ver o que se passa quando ABC está fora da faixa definida pelas rectas a e b. Também pode deslocar as rectas a e b.





A composta de duas reflexões em relação a duas rectas concorrentes a e b é uma rotação, como a construção dinâmica que se segue bem ilustra.

Composta de reflexões do plano (corrigida)

A composição de duas reflexões do plano não é uma reflexão, embora seja sempre um deslocamento ou isometria (translação, rotação, reflexão e compostas delas) . Apresentamos uma ilustração da composição (ou produto) de reflexões, com a esperança de mostrarmos a composta de duas reflexões do plano como um deslocamento do plano.

Na ilustração dinâmica tomamos duas reflexões a primeira relativamente a uma recta a, que leva A para A', a segunda relativamente a uma recta b, que leva A' para A''. Finalmente, a reflexão em relação à mediatriz de AA'', que leva A directamente para A''. Verá que a reflexão-a leva B para B' e C para C'; a reflexão-b leva B' para B'' e C' para C''. Mas a reflexão que leva de B para B'' não é a mesma que leva de A para A'', etc. De facto, as mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' são distintas. O que quer dizer que não há uma reflexão do plano (3 pontos distintos) que seja a composta das reflexões do plano.

Deslocando as rectas a e b e os pontos A, B e C, pode seguir o que acontece às mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' e pode ver o tipo de deslocamento (isometria) que o plano sofre quando lhe aplicamos a reflexão-a seguida da reflexão-b. A posição relativa das rectas a e b determina se a composta é uma translação ou se é uma rotação.




O conjunto das reflexões do plano não é fechado para o produto ou composição como o definimos aqui. Mas a composta de duas reflexões do plano é um deslocamento do plano.

Grupo das rotações do plano

Tal como acontece com as translações, também o conjunto das rotações do plano munido da composição (ou produto) é um grupo. O quadro dinâmico que se segue, permite ver uma rotação de centro O e ângulo de 50º a levar A (e um polígono) para A' (no sentido horário, 310º no sentido anti-horário), e uma outra rotação de centro P e ângulo 200º no sentido horário (160º no sentido anti-horário) a levar A' para A''. Pode ver isso clicando na barra de navegação dos passos da construção.
Interessante é perceber como se determina o centro R da rotação (produto das rotações de centros O e P) que leva A directamente para A'', bem como compreender o que se passa com a determinação do ângulo dessa rotação.

Grupo dos deslocamentos do plano

Na anterior entrada, seguindo Lucien Godeaux - As Geometrias já referido, deixámos a ideia de uma geometria métrica do plano como "conjunto de propriedades das figuras que não são alteradas quanto estas últimas se submetem a translações, rotações e a reflexões em relação a uma recta". Esta ideia pode estender-se facilmente ao espaço, considerando as reflexões em relação a um plano (no espaço a reflexão relativamente a uma recta é uma meia volta em torno dessa recta).
O que é mais interessante é que se considerarmos a operação de aplicação sucessiva de alguma daquelas transformações que leva pontos P do plano para outros pontos P'', será o mesmo que aplicar uma só dessas transformações. Chamamos produto ou composição a essa aplicação sucessiva. Tomemos duas translações do plano T e T', em que a primeira leva A para um ponto A' e a segunda leva A para A''. Fácil é ver que há uma translação que leva directamente de A para A'', T'' que é a composta (ou produto) T.T'.
Na construção dinâmica que se segue, pretendemos ilustrar isso mesmo.




E esperamos que a nossa "florida" ilustração revele não só que o produto de duas translações é uma translação, mas que há para cada translação uma outra (sua inversa) que a neutraliza, sendo óbvio que a translação identidade (elemento neutro deste produto) é aquela que deixa imóveis as figuras. Fácil é ver que para além destas propriedades, a composição de translações também é associativa. Dito de outro modo, o conjunto das translações do plano munido desta operação (aplicação sucessiva) é um grupo. De facto, isto é verdade para o conjunto de deslocamentos a que nos temos vindo a referir - translações, rotações e reflexões - que, em conjunto, munidas da operação de composição ou produto, formam o grupo principal da geometria métrica. Chamamos deslocamentos (isometrias, já que os comprimentos se mantêm invariantes) a cada uma das transformações ou aos produtos (ou compostas) de quaisquer delas por qualquer ordem.