Elipse: de uma tangente ao foco que falta

De uma elipse, conhecemos um dos vértices, um dos focos e uma tangente. Propomos que determine o outro foco.

Exercício interactivo:

Elipse: dos vértices à tangente

De uma elipse, conhecemos os quatro vértices e um ponto M. Propomos que determine a tangente à elipse em M.

Exercício interactivo:

Algumas propriedades da elipse

1. Tome-se a normal e a tangente num ponto M da elipse. A circunferência circunscrita ao triângulo formado por M e pelas intersecções T da tangente e N da normal com a recta que contém o eixo menor passa pelos focos.




[A.A.F.]

2. Se o vértice de um ângulo recto percorre o círculo principal mantendo~se um dos lados a passar por um foco, o outro lado é envolvente da elipse.




[A.A.F.]
Ilustramos, a seguir, as duas propriedades:

3. Os pés das perpendiculares às tangentes tiradas pelos focos são pontos do círculo principal.



4. Para uma dada elipse, o lugar geométrico dos simétricos F' de um foco F₁, relativamente às tangentes, é uma circunferência centrada no outro foco F₂ e cujo raio é o eixo maior (círculo director) (Dualmente: As perpendiculares a uma tangente da elipse tiradas por pontos do círculo director passam pelos focos.)

Pode clicar sobre o ponto P ou T para animar a contrução.



[A.A.F.]

A elipse

Sobre a elipse há, neste lugar geométrico, muitas entradas. Nas próximas entradas, vamos propor exercícios interactivos sobre elipses.

a elipse em dois andamentos

o ponto da escada que desliza

elipse inscrita num paralelogramo

elipse como envolvente

dos focos aos vértices da elipse

a recta que intersecta a cónica

Nesta entrada, lembramos ou relembramos algumas formas mais comuns de chegar à elipse, bem como as propriedades.

Uma elipse pode ser definida como lugar geométrico de pontos

cuja soma das distâncias a dois pontos dados é uma determinada constante;

Tomando dois pontos F e F' , chamados focos e designando por 2c=|FF'|, os pontos P de uma elipse serão tais que |FP|+|F'P|= 2a >2c (2a é o que chamamos eixo maior)

cuja razão das distâncias a um ponto e a uma recta é uma determinada constante;

A parábola de outros tempos, aqui

Antes de dar por finda esta sucessão de referências a parábolas, convém lembrar que animações e problemas com parábolas foram aparecendo ao longo dos tempos neste lugar geométrico. Recuperamos aqui algumas das referências ao passado, para que possam ser visitadas em romagem:

1. Parábola simples (animação; cinderella)


2. Parábola como envolvente (animação; cinderella)


3. Parábola como lugar geométrico dos pontos (x,x²)


4. Parábola como lugar geomético dos pontos (x, √x) e sua inversa


5. Parábola exinscrita a um triângulo