Quinto despertar dos geómetras.

Triângulo órtico; ortocentro

Dado o triângulo [ABC], sejam H_a, H_b e H_c os pés das alturas. O triângulo [H_aH_bH_c] é o "triângulo órtico" do triângulo dado.


[A.A.F.] Verifica-se que:

1. os lados de um triângulo (acutângulo) são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico;



2. as alturas de um triângulo são as bissectrizes do triângulo órtico;



3. o triângulo órtico é o o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito em [ABC];



4. a área de um triângulo é dada por p'.R, produto do semi-perímetro do triângulo órtico pelo raio do círculo circunscrito;



5. os pontos A, B, C, H gozam da propriedade seguinte: qualquer um deles é ortocentro do triângulo formado pelos outros três.



6. os vértices de um triângulo são os exincentros do seu triângulo órtico;



7. o ortocentro de um triângulo é incentro do seu triângulo órtico;

Quarto despertar dos geómetras.

Mais propriedades dos círculos exinscritos

Dado um triângulo [ABC], os pontos I_a, I_b e I_c, centros dos círculos exinscritos, definem uma circunferência. Seja O_e o seu centro; o ponto O_e e o incentro I definem um segmento |O_eI| cujo ponto médio é o centro O do círculo circunscrito. O raio do círculo dos exincentros tem comprimento duplo do raio do círculo circunscrito: R_e = 2R.

Se, a partir de I_a e de I, tirarmos perpendiculares para o lado [BC], os pés das perpendiculares definem um segmento cujo ponto médio é M_a, ponto médio do lado. O mesmo se passa com I, I_b e I, I_c.

O círculo circunscrito contem os pontos médios dos lados do triângulo de vértices I_a, I_b, I_c. E contém também os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro a I.

as circunferências BCI_a, CAI_b, ABI_c passam pelo incentro I;

[A.A.F.]

notícias da conspiração

De vez em quando, quando tudo me parece parado que é quando me ocupo com o reboco de alguma lamentação doentia sobre o que não é nem matemática nem ensino da glória, ouço vozes que me avisam sobre o "estalar da porcelana da noitinha da geometria". O António Aurélio e a Mariana continuaram a estudar os problemas e a geometria do triângulo e há quem diga que há propriedades que escaparam a toda a gente, mas foram apanhadas nas redes de pesca da Mariana que não se cansa de desenhar na praia. Já ando a pedir as necessárias autorizações, apoios e tempo para tornar públicas as elocubrações marianas, em primeira mão, neste lugar geométrico. Não resisto a falar disto para aguçar o apetite de algum eventual leitor tentado a ir de férias sem querer saber.

No dia 17 de Julho, Arsélio & Aurélio encontrar-se-ão em Famalicão, com Cinderella, com a geometria e com professores de uma ecola básica. Não há encontros felizes?

ass. Arsélio Martins

Dividir um triângulo em dois, de outro modo.

Determinar [DE], paralela a AB, que divide [ABC] em dois polígonos equivalentes

Dividir um triângulo em dois

Vamos dividir um triângulo em dois polígonos equivalentes por uma recta perpendicular a um dos lados? Vamos.

Como determinar [DE] perpendicular a AB que divida [ABC] em dois polígonos equivalentes

1. Tomámos um triângulo de vértices A, B, C e lados a=BC, b=CA e c=AB. Considerámos também um ponto U e por ele, uma reta r paralela a c. Pode mover o ponto U e com ele a reta r.
   
2. Considerado o ponto M médio de AB, tomámos a circunferência de centro U e raio AM ou MB e o ponto P um dos pontos comuns a r e (U, MB).
3. E o ponto Q de r: PQ=BH_c, sendo H_c o pé da perpendicular a AB tirada por C:
   CH_c é uma altura do triângulo [ABC] sendo a área deste metade de AB*CH_c.
   Q é um dos dois pontos comuns a r e à circunferência (P, BH_c)
   
4. A circunferência de diâmetro QU tem centro R: RU=UQ.
   E é intersectada em S pela perpendicular a (r ou a ) AB tirada por P.
5. A circunferência de centro B e raio PS intersecta BA em D, ou seja BD=PS e a perpendicular a AB tirada por D intersecta BC em E que, os calculados BD*DE e da figura DBE nos leva a pensar (conjecturar) que é esta DE (assim determinada) quem divide ABC em dois polígonos [ADEC] e [DBE] equivalentes.
6. ?

[A.A.M]