(I) - Pontos, rectas e circunferências

Traçar por um ponto A de uma recta r uma circunferência tangente em r a A e que passa por um ponto B exterior a r.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)

Mariana S. enviou-nos esta ilustração

   

agora preparada para ser desmontada passo a passo

acompanhada deste texto:
1. Desenhei a recta b perpendicular a r no ponto A (ela irá conter o centro da circunferência)
2. Desenhei o segmento de recta [AB] (c)e a recta d perpendicular a [AB] no ponto B
3. C é o ponto de intersecção de d e b.
4. Como o ângulo ABC é recto está inscrito na semicircunferência de centro D, ponto médio de [AC], e diâmetro [AC].

Para ver a construção e manipular a recta e os pontos, basta clicar sobre a ilustração.

Este exercício é mais rico do que parece. De facto, a resolução da Mariana S. não é a única e, em meu entender, não é a mais natural. Tem muito interesse saber porque é que para esta ou aquela construção (ou problema), cada um mobiliza este ou aquele conceito ou noção ou método ou processo. Gosto disto.

No Trapézio

A nova proposta de António Aurélio Fernandes, como modelo para parte das publicações, é esta:
Colocamos um problema geométrico para ser resolvido por quem quiser pensar nisso e, caso saibamos ou aprendamos a resolvê-lo entretanto, passados oito dias, publicamos alguma resolução nossa ou que nos seja proposta.

Escrevam comentários ou enviem-nos resoluções (com o cinderella, gsp, cabri,... ou de papel). É claro que aceitamos que nos proponham desafios.
[O Eduardo Veloso perguntava-me recentemente, a propósito das intenções deste "blog", que exercícios não sabia eu resolver. São tantas as minhas dificuldades em Geometria, acrescidas da dificuldade das abordagens com os computadores!... Eu nem consegui ainda fazer uma simples "cindy-roulette (?)" para a ciclóide que ele propôe no seu livro Geometria  (já citado em vários artigos), imaginem bem! E não estou sozinho, ... digo eu.]
Prometo que tentaremos resolver o que nos propuserem, pedir ajuda ou declararmo-nos derrotados, sempre que for caso disso. E não é pouco. Falem com a geometria. Sugiram ligações. Aceitamos todas as sugestões e conselhos.

A primeira proposta de trabalho é a construção de um trapézio conhecidos os seus lados. E mais: Que condições devem ser satisfeitas por quatro segmentos para que haja um trapézio que os tenha por lados? [Para que 3 segmentos sejam lados de um triângulo, basta que verifiquem aquela condição de cada um deles ser menor que a soma dos outros dois. E aqui?]

Casimiro e Mariana Sacchetti fizeram uma bela construção que nos enviaram.

Parabéns aos dois.

Nós transformámos a proposta em exercício interactivo para ser resolvido com poucas ferramentas - ponto, recta a passar por dois pontos, compasso. Mantemos o balão de bd com o "?" para o caso de querer sugestões ou para ver a construção passo a passo, bem como a "<-" de voltar atrás em algum passo. Esperamos que goste.
Comentários? Diga-nos se correr mal. Diga-nos se correr bem.


Há um ano atrás, colocámos aos alunos do 10º ano, o problema de construir em verdadeira grandeza, o polígono que se obtinha quando se cortava um cubo por um determinado plano. Tratava-se de determinar a secção e construir   um certo trapézio isósceles . Fez-se então uma pequena reflexão a respeito do assunto (e do uso a dar ao papel quadriculado) que se pode reviver agora. O problema que ora propomos é o mais geral.

Um problema de Euclides - exemplo

Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta CD, construir um ponto H na semi-recta AB de modo que os segmentos AH e CD sejam congruentes.

Pode aceder à     nossa construção      [ ou outra: se não vir tudo bem na primeira, clique aqui  ]  feita como resolução (com instrumentos euclidianos - não há compasso que mantenha a abertura e transfira comprimentos; Postulado 3 - dados dois pontos, há (e não é pouco) uma circunferência com centro num deles e a passar pelo outro ) do problema de transporte do segmento. Estamos a experimentar a exportação de exercícios interactivos. Se as coisas correrem bem, pode tentar resover antes de ver, usando as ferramentas nele disponíveis. Sempre que tiver uma dúvida e precisar de ajuda, bastará clicar sobre a "ferramenta interrogativa(?)":-) e ser-lhe-á dada uma sugestão ou dado um passo em frente na construção. A todos quantos visitem a nossa construção, pedimos que nos informem sobre o que viram e o funcionamento do computador utilizado - alguns dos computadores que usamos mostram nada, outros mostram tudo menos as ferramentas e, por isso, ficamos sem poder dar o passo seguinte, outros mostram ferramentas esmagadas e quase irreconhecíveis, outros mostram tudo perfeito para nos dar esperanças??? que só saberemos se são infundadas ou fundadas quando as testemunhas independentes escreverem a contar o que viram ou não viram...


Demonstração:

Utiliza-se Elementos I.2 para encontrar o segmento AG congruente a CD. A circunferência com centro em A e passando por G (Post 3) intersecta a recta tirada de A para B. Seja H esse ponto de intersecção. Por definição de circunferência (Def 15) AH=AG. E como AG=CD, AH=CD (Noção comum 1)   c.q.d.

Postulado 1 - Traçar uma linha recta de qualquer ponto a qualquer ponto.
Postulado 2 - Prolongar continuamente uma linha recta numa linha recta.
Postulado 3 - Descrever um círculo com um dado centro e passando por um dado ponto.
Definição 15 - Círculo é uma figura plana contida por uma linha tal que todas as linhas rectas com extremidades nessa linha e num ponto contido na figura são iguais. Este ponto chama-se centro do círculo.
Noção comum 1 - Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Noção comum 2 - Se iguais são adicionados a iguais então os todos são iguais.
Noção comum 3 - Se iguais forem subtraídos de iguais então os restantes são iguais.
Elementos I.1 - Sobre uma linha recta dada, construir um triângulo equilátero.
Elementos I. 2. - Problema: Dado um ponto A e um segmento de recta BC, construir um ponto F tal que o segmento AF é congruente com BC.

Parábola

O ponto P está a igual distância de d (directriz) e de F (foco). Quando o ponto D se move sobre d, P desenha a parábola (a negro).


[A.A.F.]
A animação ativa-se clicando na seta à esquerda do fundo da janela.

A recta t (PM), mediatriz de PD é sempre tangente à parábola. A parábola é a envolvente das rectas t (exactamente como na construção da parábola como envolvente, do artigo anterior).

Parábola como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma recta está ligado a um ponto P, exterior à recta. A perpendicular a PT, em T, é tangente a uma parábola.



Clique no primeiro botão da esquerda para animar o ponto T livre na recta r para ver aparecer a parábola como envolvente das retas t perpendiculares a PT, com T a tomar as diversas posiçõessobre r. Pode parar a animação clicando no segundo botão. Pode clicar no "botão de reiniciar" na direita alta.


[A.A.M]

Estas construções das cónicas como envolventes de rectas correspondem às aproximações das cónicas que podemos obter por dobragens sucessivas de uma folha de papel. Pode experimentar obter por dobragens sucessivas as diferentes cónicas que foram sendo apresentadas.