GEOMETRIA

23.1.05

A hipérbole como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma circunferência está ligado a um ponto P a ela exterior. A recta perpendicular a PT, em T, é tangente a uma hipérbole.

A envolvente variável.

É claro que esta animação aparece muito parecida com aquela primeira que apresentámos para a elipse. Apresentamos uma construção em que pode mover o ponto P do exterior para o interior da circunferência em que T se move.

Mas a melhor
[A.A.M.]

Para ver a trajectória de P, pode mover o ponto A sobre a nossa construção. Também pode alterar a inclinação da parede onde A desliza.

Já agora! O que é melhor? A manipulação interactiva sobre os pontos livres ou a observação do movimento automático numa animação?

Outra situação

E se em vez de pensar numa simples barra, tomarmos um triângulo rígido cuja base desliza tendo os seus vértices assentes nos lados de um ângulo? Qual será o lugar das posições do vértice oposto à base quando a base desliza?

[A.A.M.]

21.1.05

Elipse inscrita num paralelogramo

Para apoiar a resolução de um problema - Construção de uma lata para ervilhas* - de uma aula do 11º ano, tentámos animações com GSP que exigiam um animação de um cilindro em cavaleira uma elipse inscrita num paralelogramo. Bem, como tentativa de melhorar o tentado, aqui se apresenta uma construção de uma elipse inscrita num paralelogramo. Estude a nossa construção e justifique a sua validade.

A construção bonita (?) de adealmeida ou [A.A.M]:

Experimente deslocar o ponto X sobre a reta AD para ver o que acontece com as curvas com as caminhadas de P e P' ( XG.EY = P e XG.EY'=P')

[A.A.F.] Usando as deslocações possíveis, pode ver o que se passa.

Nota.
E as diferenças entre a Cinderella que usámos em 2005 e a Geogebra que usámos em 2020 para a restauração?

* Ana Maria Brito Jorge, Conceição Barroso Alves, Graziela Fonseca e Judite Barbedo. Infinito 11A, parte 2 (p 14). Areal. Porto: 2003

Dizia o problema qualquer coisa como: Para construir uma lata cilíndrica, destinada a comercializar ervilhas, são utilizados dois rectângulos de chapa um para a parte lateral e outra para os fundos ou bases. Sendo que a lata de ervilhas vai ter a capacidade de 1 litro, quais devem ser os diâmetros da base e a altura para que se gaste o mínimo de chapa metálica (lata)?

19.1.05

Elipse

X desloca-se livremente em [AB]. O ponto P que desenha a elipse de focos, F1 e F2, é tal PF1=AX e PF2=XB. O eixo maior da elipse tem comprimento igual a |AB|.

[A.A.F.]

Tomemos um sistema de eixos coordenados (ortonormado) passando pelo centro da elipse, chamando 2c à distância entre os focos e 2a à distãncia entre os extremos do eixo maior. Relativamente a esse sistema de eixos, os pontos P(x,y) da elipse respeitam a seguinte condição |PF1|+|PF2|=2a.

Redescoberta de um método antigo

Em Portugal saíram alguns livros importantes para o ensino da Geometria. O mais importante para os professores é Geometria - Temas Actuais(*) da autoria de Eduardo Veloso. A respeito das cónicas e da importância da tecnologia no ensino da geometria, recomendamos a leitura das páginas 109 e seguintes. Aqui introduzimos uma animação sobre uma construção da elipse (p. 114) na base de duas circunferências concêntricas. Tem interesse por ser um exemplo de método (re)descoberto graças ao Geometer's SketchPad. Veloso encontrou o mesmo método em obra de Carnoy, publicado em 1912.

[A.A.F.]

(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998