Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.
A curva da animação abaixo foi desenhada por Dührer (o meu ídolo, este sim!) antes de Étienne Pascal (pai do mais conhecido Pascal, de nome próprio Blaise ) a quem é atribuída.
Limaçon de Pascal
Toma-se um ponto A fixo numa dada circunferência e um ponto M que se move sobre a circunferência. Se tomarmos dois pontos P e Q da recta AM que estão a igual distância de M, estes descrevem o caracol enquanto M dá a volta à circunferência.
Pode descrever de outra forma a obtenção deste lugar geométrico. Há mais do que uma.
Quando |PM| e |MQ| são iguais ao raio da circunferência de partida (|PM|=|MQ|=|AO|), obtemos um caracol especial a que damos o nome de cardióide (o mais conhecido dos caracóis de Pascal, por razões do coração que a razão desconhece).
(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998
A partir da página 162, sob o título "Curvas planas e mecanismos" são apresentadas várias definições para a cardióide, são contadas as histórias (que eu tinha reduzido a pouco pela consulta do Dicionário de Goemetria Curiosa) e apresentados diversos processos. Veloso inclui mesmo o processo de Dürer para construir o caracol de Pascal. Pode ser que ainda venha a tentar fazer a construção em Cinderella.
VHBM.cdyAlturas-2.cdyDesafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhecem um vértice e as rectas que contêm a mediana, a altura e a bissectriz por ele tiradas.
Pode estudar a nossa resolução:
Construir
um triângulo dadas a altura, a bissectriz e a mediana num vértice.
Seja A um vértice, a altura-a, a bissectriz-b e a mediana-c dados. O problema consiste em determinar B e C de um triângulo [ABC] que tenha aqueles elementos.
Propomos-lhe que estude uma solução para o problema ou que, pelo menos, tente explicar a nossa solução (que não foi fácil para nós, confessamos).
Reconstrução
Outro(s) desafio(s):
Considere-se um triângulo [ABC], em relação ao qual adoptamos as seguintes designações: a=BC, b=AC, c=AB e h' a altura tirada a partir de A.
1) Dados a, b e h'
Bis1020.cdyDesafio: Reconstruir um triângulo de que se conhece um vértice e as rectas que contêm as suas bissectrizes.
Sugestão. Desenhe um triângulo e as suas bissectrizes (que se intersectam no incentro)dos ângulos internos. Pense em usar a perpendicular à bissectriz tirada pelo vértice do ângulo. Pode confirmar o que se pretende com a nossa construção:
Bissectrizes dos
ângulos de um triângulo
Sugestão: resultado com bissectrizes de um triângulo
Num triângulo [ABC] consideramos habitualmente os ângulos internos e as suas bissectrizes a verde na figura e que se interesectam no ponto I, incentro.Mas podemos considerar as bissectrizes exteriores, a vermelho na figura. Movendo A, B ou C, vimos como os ângulos do triângulo mudam, mas o ângulo que cada bissectriz interior, AI, com a respectiva bissectriz externa, AD, parece manter-se constantemente perto de 90 graus. Podemos conjecturar que as bissectrizes dos dois ângulos formados por duas rectas são perpendiculares. Outro resultado que a figura sugere: A bissectriz interna do ângulo C, passa pelo ponto de intersecção das bissectrizes exteriores em A e em B.
Procure demonstrar os resultados que a figura sugere.
Resposta ao desafio: Se não tiver reconstruído o triângulo, pode ver a nossa construção com Cinderella.
Reconstrução de um triângulo a partir de um vértice e das bissectrizes
São dadas as três bissectrizes, para além do vértice A (é dado o verde da figura). Traçamos a bissectriz exterior em A (perpendicular à bissectriz verde que contém A).Tomemos D, intersecção desta perpendicular (bissectriz exterior em A) com outra bissectriz. Por este D passará a bissectriz exterior noutro vértice, seja B, intersecção da terceira bissectriz com a sua perpendicular tirada por D. O terceiro vértice domtriângulo obtém-se, fazendo intersectar a recta simétrica de AB, por simetria cujo eixo é a bissectriz do ângulo B.
Construção dinâmica de um triângulo dados um vértice e as três bissectrizes
Pode movimentar A sobre a sua bissectriz, assim como pode movimentar qualquer das bissectrizes passando por I
Construção dinâmica de um triângulo dados dois lados e o ângulo por eles formado
Nesta construção, é importante lembrar que afinal só transportamos segmentos. Não é? De facto, para transportar o ângulo usamos o compasso para, em primeiro lugar, desenhar duas circunferências de igual raio uma com centro no vértice do ângulo dado e outra no vértice do triângulo a construir. E, depois, sobre a cirucnferência de centro no vértice do ângulo a transferir, transferir a sua corda cujos extremos são os pontos de intersecção com os lados (em circunferências iguais, a cordas iguais correspondem iguais ângulos ao centro).
Algumas outras construções que proporemos podem aguçar o apetite para estes assuntos básicos de geometria dos triângulos.
Assisti recentemente a uma aula em que o professor se esforçou para que alunos do 7º ano de escolaridade fizessem construções rigorosas. Podia ter escolhido melhor os exemplos e podia ter dado mais tempo para que os alunos fizessem as construções. Mas, pelo que vi, é certo que os estudantes têm ideias preconcebidas sobre o trabalho com ferramentas e não as levam para a sala de aula. E é verdade também que não escrevem. Reparei também que os estudantes dão definições decoradas como respostas a perguntas que dependeriam da observação do que lhes é mostrado. Está difícil.
