11 anos de construções

Problema que precisa da invariância de ângulos por inversão para ser resolvido.

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Construir uma circunferência que passe por dois pontos $\;A, \; B\;$ dados e corte uma reta - $\;r\;$ - dada segundo um dado ângulo $\; \alpha .$

O ângulo de uma reta $\;r\;$ com uma circunferência que a corte num ponto $\;P\;$ é um ângulo de vértice $P$ cujos lados são $r$ e a tangente à circunferência em $\;P.\;$ Há uma infinidade de circunferências que passsam por $\;A\;$ e $\;B\;$. Precisamos de determinar alguma dessas que cortem $\;r\;$ segundo o ângulo $\;\alpha \;$.

© 20 dezembro 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar $\;r, \;A, \;B\;$ com consequências que vão até poder ver em que condições há uma ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar.

$\;\fbox{n=1}\;\;\;\;$ A inversão relativa à circunferência de centro $\;A\;$ e raio $\;AB\;$
$\;\fbox{n=2}\;\;\;\;$ transforma a reta $\;r\;$ numa circunferência $\;r'\;$
$\;\fbox{n=3}\;\;\;\;$ que passa por $\;A,\;$ centro da inversão aplicada a $\;r\;$.
Como a inversão preserva os ângulos, o problema reduz-se a determinar uma recta que passe por $\;B\;$ e faça um ângulo $\;\alpha\;$ com a circunferência $\,r'\;$.
As retas que fazem ângulos $\;\alpha\;$ determinam-se facilmente: Toma-se um ponto $\;I\;$ genérico de $\;r'\;$ e a sua tangente nesse ponto
$\;\fbox{n=4}\;\;\;\;;$ A reta que faz um ângulo $\; \alpha \;$ com cada tangente é uma das retas que procuramos e que no seu conjunto determinam (envolvem) uma circunferência concêntrica com $\;r'\;$
$\;\fbox{n=5}\;\;\;\;$ lugar geométrico dos pontos médios das cordas determinadas pelas retas que que fazem ângulos $\; \alpha\;$ com as tangentes em qualquer dos seus extremos.
De entre todas essas retas, interessam-nos aquelas que passam por $\;B\;$ que são duas delas: as tangentes $\;t_1, \; t_2\;$ à circunferência de centro $\;O \;$ e raio $\;OM\;$ tiradas por $\;B\;$
$\;\fbox{n=6}\;\;\;\;$ Se aplicarmos a estas retas $\;t_1, \; t_2\;$ a inversão de centro $\;A\;$ e raio $\;AB\;$ as suas transformadas são, respetivamente, as circunferências $ \;c_1, \; c_2\;$ que passam por $\;A\;$, centro da inversão, e também por $\;B\;$ por este ser um ponto da circunferência de inversão (invariante por essa inversão)
$\;\fbox{n=7}\;\;\;\;\;$ A figura final
$\;\fbox{n=8}\;\;\;\;$ só serve para mostrar os dados e as soluções do problema sem mais.

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^* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
200. Construire un cercle passant par deux points donnés et coupant une droite donnée sous un angle donné $\;\alpha$.