GEOMETRIA

27.2.14

Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três retas

$\;a, b, c\;$ dadas tenham razões

$\;\displaystyle \frac{t}{u}, \frac{u}{v}, \frac{t}{v}$ .

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas

$\;a$ (azul),

$\;b$ (castanho) e

$\;c$ (verde) e três segmentos

$\;t$ ,

$\;u$ e

$\;v$
Chamámos

$\;A\;$ ao ponto de interseção das retas

$\;b\;$ e

$\;c\;$ :

$\;\{A\} = b.c$ . E do mesmo modo,

$\;\{B\} = a.c$ e

$\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância

$\;t\;$ de

$\;a\;$ é constituído por duas retas

$\;a', a''$ (azul tracejado) paralelas a

$\;a\;$ e a igual distância

$\;t\;$ de

$\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância

$\;u\;$ de

$\;b\;$ é constituído por duas retas

$\;b', b''\;$ paralelas a

$\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância

$\;v\;$ de

$\;c\;$ é constituído pelas retas

$\;c', c''\;$ paralelas a

$\;c$ .

3.
Cada um dos pontos de interseção

$\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância

$\;t\;$ de

$\;a\;$ e à distância

$\;u\;$ de

$\;b\;$ . E a razão das suas distâncias a

$\;a\;$ e a

$\;b\;$ é

$\;\displaystyle \frac{t}{u}$ . Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão

$\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas

$\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção

$\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices

$\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão

$\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas

$\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em

$\;A\;$ e de vértices

$\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão

$\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas

$\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em

$\;B\;$ e vértices

$\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$ .
5.
Qualquer ponto

$\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando

$\;d_1\;$ à distância de

$\;X\;$ a

$\;a\;$ ,

$d_2$ à distância de

$\;X\;$ a

$\;b\;$ e

$\;d_3\;$ à distância de

$\;X\;$ a

$\;c\;$ , sabemos que

$\frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são

$\;P, Q, R, S$ .
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e

$\;t=u=v$ , estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas

$\;(b, c)$ ,

$\;(a, c)\;$ e

$\;(a, b)\;$ , sendo os pontos procurados o incentro

$\;I\;$ e os excentros

$\;I_1, I_2, I_3$ .

22.2.14

Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos

Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos A, B, C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial - |n=1| - encontram-se os dados do problema: A, B, C,γ.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos A, B dados, basta determinar o seu centro O. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de [AB].
2.
Que tem O a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo γ dado de vértice C?
Procuramos o centro O de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por C formam um ângulo ∠TCT'= γ, em que T, T' são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio OA=OB=OT para o qual ∠OTC é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo γ de vértice C₀ triângulos ΔCT₀O₀ e ΔCT'₀O₀ e retângulos respetivamente em T₀ e T'₀, semelhantes entre si e aos ΔCTO e ΔCT'O.
Conhecemos agora T₀O₀ / C₀O₀ = TO / CO = AO / CO=BO / CO, constante para cada γ.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

3.
|n=3|: -O é um dos pontos para os quais é uma constante k=T₀O₀ / C₀O₀ = AO / CO , ou seja, O está sobre a circunferência de Apolónio relativa a [AC] e constante k (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro I₁ e E₁, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em A e de raio T₀O₀ na circunferência centrada em C e de raio C₀Os₀.
4.
- Do mesmo modo, se sabe que O é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$ , isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$ .
5.
|n=5|: - Os pontos O e O' de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$ , são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$ .
6.
- Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$ .

Publicada por adealmeida à(s) 19:18 Sem comentários:
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